Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=tgt, её свойства и график
1. Напоминание: определение функции, графика функции
Напоминание:
Определение: Функцией 
называется закон, по которому каждому допустимому значению 
ставится в соответствие единственное значение y.
Множество всех точек координатной плоскости 
называется графиком функции 
2. Определение тангенса
На отрезке 
задана функция 
(рис. 1).
По определению, каждому значению 
ставится в соответствие только одно значение 
И обратно: значение функции 
может достигаться при нескольких значениях аргумента: 
Дадим определение функции 
или 
.
Нам важен закон, по которому каждому значению 
ставится в соответствие 
Зададим произвольное 
Значение откладывается на числовой окружности по часовой стрелке либо против часовой стрелки, в зависимости от знака Получаем единственную точку M с единственной парой координат (рис. 2).
Координату 
называют косинусом числа 
координату 
синусом числа
Тангенсом числа называется отношение синуса к косинусу
3. Тангенс на числовой окружности
Нам известно, что каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции 
Покажем это графически.
Проведем касательную к числовой окружности в точке A. Заданному значению соответствует единственная точка M, единственная прямая OM и единственная точка T пересечения прямой OM и касательной (рис. 3).
Наша цель – найти координаты точки T, для этого решим систему уравнений.
Ордината точки 
равна
Прямую 
называют линией тангенсов.
4. Исследование четности и периодичности функции y=tgt
Докажем, что область значений тангенса – это все действительные числа, 
Доказательство:
Зададим любое действительное значение 
и докажем, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.
Отложим на линии тангенсов, получим точку 
(рис. 4).
Соединим её с точкой O, получим прямую 
которая пересекает числовую окружность хотя бы в одной точке M, а, значит, существует единственная дуга 
и хотя бы одно значение которое равно длине дуги.
Любому действительному значению аргумента соответствует единственное значение функции. Но любому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.
Таким образом, мы задали любое значение функции и доказали, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.
Отметим два важных свойства функции
1. Нечетность функции.
Т.е. 
2. Докажем, что период функции равен 
Таким образом, для любого значения
выполняется 
5. График функции y=tgt
Эти свойства функции позволяют нам легко построить её график. Период функции равен 
значит, мы можем изучить её свойства и построить график на любом участке длиной
Нечетность функции позволяет симметрично отобразить участок графика относительно начала координат.
С учетом этого построим график функции на промежутке 
(рис. 5).
Мы получили график функции на заданном промежутке. Можно было построить график и по известным табличным значениям. Например:
Из построенного графика функции на промежутке видно, что функция возрастает. Докажем это.
Рассмотрим график на промежутке 
Точки 
(рис. 6).
Докажем, что 
Доказательство:
На промежутке функция 
возрастает, значит 
(рис. 7).
На промежутке функция 
убывает, значит 
(рис. 8).
значит, функция возрастает на промежутке
Зная свойства функции, мы можем построить её график на всей области определения.
В точках 
проходят вертикальные асимптоты (рис. 9).
6. Свойства функции y=tgt
Рассмотрим основные свойства функции
1) Область определения: 
2) Функция периодическая с периодом 
3) Функция нечетная.
4) Функция возрастает и непрерывна на любом интервале 
5) Функция не ограничена.
6) Функция не имеет ни минимального, ни максимального значения.
7) 
7. Решение уравнения
Задача. Решить уравнение 
Решение:
На промежутке 
функция монотонно возрастает, значит, на этом промежутке значение 
достигается при единственном значении аргумента 
(рис. 10).
С учетом периодичности получаем 
Ответ:
8. Вывод, заключение
Мы рассмотрели функцию 
её свойства и график. На следующем уроке рассмотрим функцию 
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 20.1, 20.3(а,в), 20.4, 20.17, 20.18.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).
