Числовая окружность
Мы рассматриваем числовую окружность с центром в начале координат, 
и началом отсчета в точке 
, как показано на рисунке 1.
Рис. 1. Числовая окружность
Каждому действительному числу 
соответствует единственная точка 
на этой окружности ( рис. 1).
Как получается эта точка ?
Откладываем дугу 
, равную по модулю , против часовой стрелки (если 
) и по часовой стрелке (если 
). Итак, точка получена.
Каждая точка имеет единственную пару декартовых координат: абсциссу 
и ординату 
(рис. 1). Имеем действительное число , по нему находим единственную точку на окружности , а эта единственная точка на окружности имеет единственную пару декартовых координат 
.
Таким образом, каждому действительному числу сопоставляется два числа и 
. Имеем функции 
и 
.
Далее этим функциям будут даны специальные названия 
и 
. Закон, по которому каждому сопоставляется пара чисел и 
предъявлен. Он удовлетворяет единственности, а значит, введение двух функций обоснованно. С каждой функцией связано две основные задачи.
Прямая задача
По заданному найти значение функции 
и 
.
Обратная задача
По заданному значению зависимой переменной или найти все соответствующие значения аргумента . То есть найти множество всех значений аргумента, при которых зависимая переменная достигает заданного значения. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений.
Решение вида t+2πn;
Числам 
соответствует одна и та же единственная точка на окружности, то есть 
.
Почему же точкам и 
соответствует одна и та же точка на окружности?
Потому, что 
– длина единичной окружности. Ведь длина окружности 
, так как . Сделав полный оборот, из точки мы снова попадаем в точку . Число 
далее будет называться наименьшим положительным периодом функции и .
Рассмотрим еще один пример. Пусть точка соответствует на циферблате числу 1 и часовая стрелка указала на эту точку числа , то есть на 1, один час. Но если мы находимся в комнате без окон, то мы не сможем определить, что это, час дня или час ночи. Этот пример иллюстрирует неоднозначность решения обратной задачи.
Задача 1.
Дано действительное 
.
Найти: место расположения точки 
и ее декартовы координаты и 
.
Рис. 2. Первый способ нахождения точки
Решение
Точку можно найти несколькими способами.
Первый способ нахождения точки M
Дугу 
равную 
разделим на 3 равные части (рис. 2). Каждая часть – это 
. Значит, точка имеет координату 
, так как 
.
Второй способ нахождения точки M
Можно использовать формулу длины окружности: 
. Стало быть, отложим угол 
и получим точку .
Итак, расположение точки найдено двумя способами.
Рис. 3.Нахождение декартовых координат точки
Найдем декартовы координаты и . Эти координаты можно найти из прямоугольного треугольника 
. В нем известна гипотенуза 
, известен острый угол (рис. 3). Значит, 
; 
.
Ответ:
;
.
Замечание: точка находится в первой четверти, ее декартовы координаты положительны и совпадают с длинами катетов. Зная координаты точки , несложно найти координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра.
Задача-следствие
Задача 2.
Дана точка 
;.
Найти: координаты точек 
, симметричных относительно осей координат и точке 
.
Решение:
Будет очевидным, если мы каждую дугу разделим на 3 равные части, каждая часть имеет длину , учтем симметрию и в результате получим ответ.
Для точки 
(рис. 4): 
; ;
.
Для точки 
(рис. 4): 
; 
; 
.
Для точки 
(рис. 4): 
;
; 
.
Рис. 4.Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра
Замечание
Криволинейных координат бесчисленное множество. Например, точка 
. Координата точки 
;
;
;
Обратная задача
Дано значение абсциссы 
.
Найти множество значений аргумента.
Множество значений всех . А именно, решить уравнение 
. Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, каким образом по заданному числу мы получали точку и ее декартовы координаты. А именно, мы откладывали дугу, отмечали точку на окружности. Затем опускали перпендикуляры и получали декартовы координаты.
Здесь процесс выполняется в обратном направлении. Из точки 
(рис. 5) в координаты 
восстанавливаем перпендикуляр к оси 
и получим две точки 
и 
на единичной окружности. Это единственная пара точек на окружности с заданной абсциссой 
. Теперь нужно определить длину дуги 
(рис. 5). Рассмотрим треугольник 
. Гипотенуза – 1, катет – 
.
Рис. 5. Построение точки и определение ее декартовых координат
Значит, 
. Отсюда 
. И соответствующая дуга 
. 
, значит, первая криволинейная координата точки 
: 
, а точки : 
.Все координаты точки 
, а все координаты точки 
(рис. 5).
Ответ:
Задача на нахождение декартовых координат
Дано: 
Найти: декартовы координаты точки 
Решение:
Рис. 6.Точка на окружности
Числам и 
соответствует одна и та же точка на окружности. Точка – середина дуги 
(рис. 6). Декартовы координаты ее найдем из 
, в нем гипотенуза – 1. Известно, что 
.
Ответ: 
Вывод
Мы сформулировали и рассмотрели основные задачи на числовую окружность в координатной плоскости.
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
- Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
- Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
- Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
- Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
- В какой координатной четверти находится угол 196°?
- Определите координаты точки числовой окружности
. - Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам и
? - Что можно сказать о расположении точек на числовой окружности, соответствующих числам и ?
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
- Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
- Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
- Интернет-портал 5klass.net (Источник).
