Дано:. Построить эскиз графика функции (без ).

Решение:

1. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции на них.

Это делается так: находим корни числителя и корни знаменателя . Получим три интервала. Методом пробной точки определяем знак на каждом из них (Рис. 2).

Рис. 2.

2. Построить эскиз в окрестности:

а. каждого корня ;

б.каждой точки разрыва ;

в. бесконечно удаленных точках.

Что это означает и как это выполнять?

У нас только один корень – . Ясно, что функция в ее окрестности будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3. Это обусловлено тем, что слева от этой точки функция отрицательна, а справа – положительна. То есть в окрестности этой точки функция возрастает.

Теперь рассмотрим точку разрыва . В окрестности этой точки события развиваются следующим образом: если очень мал, то дробь очень большая, его значения в окрестности этой точки отрицательны. Значит, кривая будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3.

Далее, разберем, что означает рассмотреть в окрестности бесконечно удаленных точек:

Следовательно, график функции в окрестности этой точки будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3.

Рис. 3.

Мы уже можем угадать график.

1. Использовать непрерывность на ОДЗ.

То есть соединить те линии, которые на рисунке 3 изображены пунктиром.

Дано:. Построить эскиз графика функции (с ).

Решение:

2. Следует выделить интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них.

Найдем производную.

Определим интервалы знакопостоянства. Для этого найдем корни числителя и корни знаменателя . Мы получили три интервала. Точка – точка максимума, поскольку справа функция убывает, а слева – возрастает. Значение функции в этой точке можем вычислить .

Рис. 4.

3. Найти точки экстремума, уточнить график, выписать ответ.

Мы это уже проделали.

Мы готовы сформулировать этапы построения функции и выписать ответ.

Ответ: функция :

- убывает при ;

- возрастает при ;

- имеет точку максимума при