1. Повторение
Напомним, как получить уравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
.
Рис. 1. График функции
Имеем график функции (Рис. 1). Независимая переменная 
или время 
. Функция (зависимая переменная) 
, или расстояние от дома 
.
В момент времени расстояние от дома равно 
. Следующий момент времени 
, и расстояние в этот момент равно 
.
Получим две точки 
, и пока что не касательную, а секущую 
. Угол наклона этой секущей – 
. Имеем приращение аргумента – 
, приращение функции – 
, и рассмотрим отношение приращений:
Средняя скорость является физическим смыслом этого отношения. А тангенс угла наклона – геометрическим смыслом.
Перейдем к касательной. Для этого устремим к 0.
При 
, 
. Тогда точка 
будет стремиться к точке 
. Тогда секущая будет стремиться к касательной.
– угол наклона касательной.
Рассмотрим отношение приращений при .
Более строгое определение производной
Нам важно знать, что
То есть значение производной в точке – это мгновенная скорость в момент . Это физический смысл. Геометрический смысл – это тангенс угла наклона касательной в этой точке. Итак, для касательной мы уже знаем тангенс угла наклона.
2. Уравнение касательной
Построим касательную к графику 
с абсциссой в точке (Рис. 2).
Касательная – это прямая. Ее уравнение имеет вид 
.
Следовательно, надо узнать угловой коэффициент 
и свободный член 
. Узнаем их из условий касания. Вот эти условия:
Рис. 2. Касательная к графику с абсциссой в точке
3. Параметры, используемые в уравнении касательной
Из этих условий сразу нашли первый параметр, то есть . Теперь уравнение касательной имеет вид:
Осталось найти свободный член .
Наша прямая проходит через заданную точку А. Подставим ее в уравнение:
Подставим найденное в исходное уравнение:
Чтобы уверенно решать многочисленные задачи на касательную, надо понимать смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.
Напомним:
1. 
– точка касания
2. 
3. 
- точка на касательной
Заметим, что в окрестности точки и кривая, и касательная – это примерно одно и тоже, то есть:
Это является основой многочисленных приближенных вычислений.
4. Задача №1
Дано:
1. Написатьуравнение касательной к кривой 
в точке с абсциссой 
(Рис. 3).
Рис. 3. Касательная к кривой в точке с абсциссой
Решение:
1. Найти точку касания:
2. Найти производную в любой точке:
3. Найти производную в конкретной точке :
4. Выписать уравнение касательной
Ответ: 
.
Дано:
.
2. Найти:а) площадь 
; б) его гипотенузу (Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2
Решение:
1. Найдем координаты точки С:
2. Найдем координаты точки В:
3. Найдем площадь:
4. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:
Ответ: 
.
3. Написать уравнения касательных, проведенных из точки 
к параболе (Рис. 5).
Решение:
Выпишем уравнение касательной:
Далее по стандартной методике находим сначала первую касательную:
1. 
2. 
3. 
Найдем вторую касательную:
1. 
2. 
3. 
Ответ:
.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3
5. Задача №2
Дано: 1. график функции 
(Рис. 6);
2. Касательная к нему в точке 
Найти: 
Рис. 6. График функции к задаче № 2
Решение:
1.
2. 
Ответ: 
.
6. Задача №3
Дано:
1. График функции (Рис. 7);
2. Касательная к нему в точке 
Найти:
Решение:
1.
2. 
3. 
4. 
Рис. 7. Иллюстрация к задаче № 2
Ответ: 
.
Мы повторили тему касательная. Следующий урок посвятим изучению важной темы – интеграла.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Напишите уравнение касательной к функции
в точке . - Напишите уравнение касательной к функции
в точке 
. - В какой точке кривой
касательная наклонена к оси абсцисс под углом 
. - Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 814, 815, 823, 824.
