Рассмотрим функцию и ее график (Рис. 1). Для наглядности будем использовать физическую интерпретацию производной.

Рис. 1.

Аргументом пусть будет время . Зависимой переменной пусть будет – расстояние до дома. График функции показывает путь до дома в каждый момент времени.

– момент времени. В этот момент времени мы находимся на расстоянии от дома.

Через некоторое время мы будем находиться на расстоянии от дома. Мы имеем приращение аргумента – , и приращение функции – .

Получим треугольник, у которого катеты равны приращению аргумента, приращению функции, а гипотенуза АВ – секущая, где – тангенс угла наклона этой секущей.

Нас интересует отношение приращения функции к приращению аргумента.

Во-первых, мы получим среднюю скорость. Таков физический смысл.

А геометрический смысл состоит в том, что мы получим тангенс угла наклона секущей.

За конечное время может произойти множество событий, и все их надо уловить, отразить. Для этого устремим к 0. То есть мы будем рассматривать ближайшие точки к точке . Но если приращение аргумента стремится к 0, то приращение функции также стремится к 0. Тогда секущая АВ будет стремиться занять положение касательной к графику в точке А. Рассмотрим, что произойдет с отношением:

Более строгое определение

Такой предел называется производной функции и обозначается .

Каков физический и геометрический смысл производной?

– это мгновенная скорость в момент . Таков физический смысл производной.

Геометрический смысл: – тангенс угла наклона касательной в точке .

Мы вспомнили определение производной, ее физический и геометрический смысл.

Следующей нашей целью будет вспомнить технику дифференцирования, то есть технику нахождения производных.