Тема: Повторение курса алгебры 10 класса
Урок: Производная. Таблица производных
1. Определение производной, ее физический и геометрический смысл
Рассмотрим функцию и ее график (Рис. 1). Для наглядности будем использовать физическую интерпретацию производной.
Рис. 1.
Аргументом пусть будет время 
. Зависимой переменной пусть будет 
– расстояние до дома. График функции показывает путь до дома в каждый момент времени.
– момент времени. В этот момент времени мы находимся на расстоянии 
от дома.
Через некоторое время 
мы будем находиться на расстоянии 
от дома. Мы имеем приращение аргумента – , и приращение функции – 
.
Получим треугольник, у которого катеты равны приращению аргумента, приращению функции, а гипотенуза АВ – секущая, где 
– тангенс угла наклона этой секущей.
Нас интересует отношение приращения функции к приращению аргумента.
Во-первых, мы получим среднюю скорость. Таков физический смысл.
А геометрический смысл состоит в том, что мы получим тангенс угла наклона секущей.
За конечное время может произойти множество событий, и все их надо уловить, отразить. Для этого устремим к 0. То есть мы будем рассматривать ближайшие точки к точке . Но если приращение аргумента стремится к 0, то приращение функции также стремится к 0. Тогда секущая АВ будет стремиться занять положение касательной к графику в точке А. Рассмотрим, что произойдет с отношением:
Более строгое определение
Такой предел называется производной функции и обозначается 
.
Каков физический и геометрический смысл производной?
– это мгновенная скорость в момент . Таков физический смысл производной.
Геометрический смысл: – тангенс угла наклона касательной в точке .
Мы вспомнили определение производной, ее физический и геометрический смысл.
Следующей нашей целью будет вспомнить технику дифференцирования, то есть технику нахождения производных.
2. Таблица производных
1. 
(производная от постоянной величины является нулем)
Например: 
, поскольку тангенс – величина постоянная и от 
не зависит.
2. Следующая функция линейная:
То есть производной от линейной функции является ее угловой коэффициент.
Например:
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
3. Правила нахождения производных
1. 
То есть производная суммы равна сумме производных
.
2. 
То есть константу можно выносить за знак производной.
.
3. Производная произведения:
4. Производная частного:
4. Производные сложных функций
Тогда:
1. 
а. 
б. 
2. 
а. 
б. 
3. 
а. 
б. 
4. 
5. 
а. 
б. 
6. 
а. 
б. 
Мы повторили определение производной и таблицу производной. Следующий урок посвятим исследованию функций с помощью производных.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Mathprofi.ru (Источник).
2. Math24.ru (Источник).
3. Википедия (Источник).
Домашнее задание
1. Найдите производные функций: 
2. Найдите значения производной 
в точках 
.
3. Найдите производную функции 
.
4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 750-752, 760, 761.
