Чтение графика функций. Решение задач В2

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

Урок: Чтение графика функций. Решение задач В2

1. Объяснение понятие графика, методика чтения

В нашей жизни графики встречаются довольно часто, взять хотя бы прогноз погоды, который представляется в виде графика изменения каких-либо показателей, например, температуры или силы ветра с течением времени. Мы не задумываемся, когда считываем этот график, хотя это, возможно, первое чтение графика в нашей жизни. Также можно привести пример графика изменения курсов валют с течением времени и множество других примеров.

Итак, первый график, который мы рассмотрим.

Рис. 1. Иллюстрация графика 1

Как видно, график имеет 2 оси. Ось, смотрящая вправо (горизонтальная), называется осью . Ось, смотрящая вверх (вертикальная), называется осью .

Для начала разберем ось . На данном графике по этой оси отложены число оборотов в минуту у некоторого автомобильного двигателя. Оно может быть равно и т. д. На этой оси также есть деления, часть из них обозначена цифрами, часть из них является промежуточными и не обозначена. Несложно догадаться, что первое деление от нуля – это , третье –  и т. д.

Теперь разберем ось . На данном графике по этой оси отложены числовые значения величины Ньютон на метр (), величины крутящего момента, которые равны  и т. д. В данном случае, цена деления равна .

Теперь обратимся к самой функции (к той линии, которая представлена на графике). Как видно, эта линия отражает, сколько Ньютонов на метр, то есть какой крутящий момент, будет при конкретном значении оборотов двигателя в минуту. Если мы возьмем значение 1000 об./мин. и от этой точки на графике пойдем влево, то мы увидим, что линия проходит через точку 20, т. е. значение крутящего момента при 1000 об/мин будет равно  (рисунок 2.2).

Если мы возьмем значение 2000 об/мин, то линия пройдет уже в точке  (рисунок 2.2).

Рис. 2. Определение крутящего момента по количеству оборотов в минуту

2.  Понятие максимального и минимального значения, методика нахождения максимального и минимального значения функции по графику

Теперь представим, что наша задача – найти наибольшее значение по этому графику. Ищем самую высокую точку (), соответственно, самым низким значением крутящего момента в этом графике будет считаться 0. Чтобы найти наибольшее значение функции по графику, нужно рассмотреть самое большое значение, которое достигает функция по вертикальной оси. Мы смотрим, какое значение выше всех, и смотрим по вертикальной оси, какое будет самое большое достигающееся число. Если же мы говорим о наименьшем значении, то мы берем, наоборот, самую низкую точку и смотрим её значение по вертикальной оси.

Рис. 3. Наибольшее и наименьшее значение функции по графику

Наибольшее значение в данном случае – , а наименьшее значение, соответственно, 0. Важно не перепутать и указать правильно максимальное значение, некоторые указывают максимальное значение 4000 об/мин., это не наибольшее значение, а та точка, в которой принимается наибольшее значение (точка максимума), наибольшее значение – именно .

Также следует обращать внимание на вертикальную ось, ее единицы измерения, то есть, например, если вместо Ньютонов на метр () было бы указано сотни Ньютонов на метр (), значение максимума нужно было бы умножить на сто и т. д.

Наибольшее и наименьшее значение функции очень тесно связаны с производной функции.

3.  Дополнительные сведения о производной функции

Если на рассматриваемом отрезке функция возрастает, то производная функции на этом отрезке положительна либо равна нулю в конечном количестве точек, чаще всего просто положительна. Аналогично, если на рассматриваемом отрезке функция убывает, то производная функции на этом отрезке отрицательна либо равна нулю в конечном количестве точек. Обратное утверждение в обоих случаях верно.

 

4.  Решение примеров с наличием ограничения по оси ОХ

В следующем примере возникают некоторые трудности, связанные с ограничением по горизонтальной оси . Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение на указанном отрезке.

На графике изображено изменение температуры с течением времени. По горизонтальной оси мы видим время и дни, а по вертикальной оси – температуру. Необходимо определить наибольшую температуру воздуха на 22 января, т. е. нам нужно рассматривать не весь график, а часть, касающуюся 22 января, т. е. от 00:00 22 января до 00:00 23 января.

 

Рис. 4. График изменения температуры

Ограничив график, нам становится очевидным, что максимальная температура соответствует точке .

  

5. Дополнительный пример, задача из ЕГЭ

Дополнительный пример: определить наибольшую температуру воздуха 13 июля.

Задан график изменения температуры за трое суток. По оси ox – время дня и числа месяца, по оси oy – значение температуры воздуха в градусах Цельсия.

Нам нужно рассматривать не весь график, а часть, касающуюся 13 июля, т. е. от 00:00 13 июля до 00:00 14 июля.

 

 

Рис. 5. Иллюстрация к дополнительному примеру

Если не ввести описанные выше ограничение, можно получить неверный ответ, но на заданном интервале максимальное значение очевидно:  , и достигается оно в 12:00 13 июля.

6. Решение других примеров на чтение графика функции

Пример 3: определить, какого числа впервые выпало пять миллиметров осадков:

На графике изображено суточное количество осадков в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали откладываются дни месяца, по вертикали – количество осадков в миллиметрах.

 

Рис. 6. Суточное выпадение осадков

Начнем по порядку. 3-го числа, мы видим, выпало чуть больше 0, но меньше 1 мм. осадков, 4-го числа выпало 4 мм осадков, и т. д. Впервые цифра 5 появляется на 11-ый день. Для удобства можно было виртуально провести прямую линию напротив пятерки, впервые она пересечет график именно 11 февраля, это и является правильным ответом.

Пример 4: определить, какого числа цена унции золота была наименьшей

На графике показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов на каждый день с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали откладываются дни месяца, по вертикали,

соответственно, цена унции золота в долларах США.

Линии между точками проведены только для наглядности, информацию несут исключительно сами точки.

Рис. 7. График изменения цены золота на бирже

7. Решение дополнительного примера

Дополнительный пример: определить, в какой точке отрезка  функция  принимает наибольшее значение:

На графике задана производная  некоторой функции .

 

Рис. 8. Иллюстрация к дополнительному примеру

Производная определена на отрезке

Как видно, производная функции на заданном отрезке  является отрицательной, в левой граничной точке равна нулю. Как мы знаем, если производная функции отрицательная, то функция на рассматриваемом промежутке убывает, следовательно, наша функция убывает на всём рассматриваемом отрезке , в таком случае, наибольшее значение она принимает в самой левой границе. Ответ: точка .

Итак, мы рассмотрели понятие графика функции, изучили, что такое оси на графике, как находить значение функции по графику, как находить наибольшее и наименьшее значение.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей (Источник).
3. Учёба-легко.РФ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. На диаграмме (рисунок 9) показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Рис. 9. График изменения температуры

2. По этому же графику (рисунок 9), определите разность между наибольшей  и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
3. На графике (рисунок 10) показан процесс разогрева двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха 15 градусов. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда температура двигателя достигнет 45 градусов. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде чем подключить нагрузку к двигателю?

Рис. 10. График разогрева двигателя