Основные виды показательных уравнений:

1) Простейшие ().

2) Сводящиеся к простейшим с помощью использования свойств степени

3) С вынесением общей степени

4) Сводящиеся к квадратным

5) Однородные

На этом уроке мы с вами вспомнили определение и свойства степени, показательную функцию и её свойства.

В практической части урока мы подробно разберём основные методы решения показательных уравнений.

Вставка 1. Обобщение понятия степень

Может возникнуть вполне логичный вопрос: мы воспользовались уже готовыми свойствами степени с натуральным показателем, чтобы «вывести» формулу для степени с целым показателем. И потом «восхищаемся» тем, что все свойства в результате такого определения сохраняются. Можно ли так делать?

Здесь очень важно понимать, что математики люди весьма прагматичные и даже немного «ленивые». Поэтому они стараются структурировать и обобщать всё, что только можно.

Однако любое обобщение хорошо только тогда, когда оно справедливо не только в общем, но и в любом частном случае.

Поэтому понятие степени с целым показателем должно сохранять свойства степени с натуральным показателем, так как любое натуральное число является одновременно и целым.

Аналогично с рациональным и т.д.

Нас же не удивляет, что известный нам с раннего детства закон «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» остался верен не только для чисел от 1 до 10 (как мы учили его изначально), а и для всех натуральных, целых, рациональных и даже иррациональных чисел.

Поэтому мы всего лишь продемонстрировали, откуда пришла идея так «определить» степень с целым и рациональным показателем, чтобы все свойства, уже сформулированные для степени с натуральным показателем, остались верны.

Вставка 2. Неположительные основания степени

Мы ввели понятие степени с натуральным для любого основания. А в дальнейшем начали накладывать на основание определённые ограничения. Возникает вопрос: в каких случаях степень определена при неположительных основаниях?

определено при всех

Для отрицательных же оснований: выражение определено только для целых показателей степени:

Почему не определено число Ведь его можно заменить на Это связано с тем, что можно рассуждать и следующим образом: Таким образом, мы бы получили, что , что было бы абсолютно неверно. Поэтому для отрицательных оснований вводят обычно только степень с целым показателем.

Вставка 3. «Вылить воду из чайника»

Это выражение имеет свою предысторию. Существует следующая «притча-анекдот», иллюстрирующая принцип математического подхода к решению задач.

Обычного человека и математика попросили закипятить воду в чайнике, имея для этого следующее оборудование: пустой чайник, кран с водой, спички и плиту.

Оба сформулировали следующий алгоритм:

1) Налить в чайник воду из-под крана.

2) Зажечь спичку.

3) Зажечь конфорку на плите.

4) Поставить чайник на плиту.

5) Подождать пока закипит вода.

После этого им предложили решить аналогичную задачу, но с изменёнными начальными данными: есть чайник с водой, кран с водой, спички и плита. Обычный человек сформулировал вполне естественный алгоритм:

1) Зажечь спичку.

2) Зажечь конфорку на плите.

3) Поставить чайник на плиту.

4) Подождать пока закипит вода.

А математик решил задачу так:

1) Выливаем воду из чайника.

2) Задача свелась к предыдущей.

Эта история демонстрирует один из важнейших принципов в математике: если мы можем свести задачу к одной из уже решённых, то и исходную задачу можно считать решённой. При этом такой подход к решению абсолютно не гарантирует его «оптимальность». Возможно, существуют и другие, более короткие и простые пути к решению, однако в математике иногда гораздо важнее понимать, что задачу можно решить и знать алгоритм, который гарантированно приведёт к желаемому результату.

Таким образом, выражение «вылить воду из чайника» означает свести задачу к предыдущей, то есть к той, которую мы уже умеем решать.

Полезные ссылки:

1) Алгебра 7 класс:"Что такое степень с натуральным показателем"

2) Алгебра 7 класс: "Таблица основных степеней"

3) Алгебра 7 класс: "Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)"

4) Алгебра 7 класс: "Степень с нулевым показателем и основные результаты"

5) Алгебра 7 класс: "Умножение степеней с одинаковыми основаниями"

6) Алгебра 7 класс: "Деление степеней с одинаковыми основаниями"

7) Алгебра 7 класс: "Возведение степени в степень"

8) Алгебра 7 класс: "Действия со степенями"

9) Алгебра 7 класс: "Степень с натуральным показателем и её свойства"

10) Алгебра 8 класс: "Возведение алгебраической дроби в степень"

11) Алгебра 8 класс: "Степень с отрицательным показателем"

12) Алгебра 11 класс: "Обобщение понятия о показателе степени - начальные сведения"

13) Алгебра 11 класс: "Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи"

14) Алгебра 11 класс: "Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения"

15) Алгебра 11 класс: "Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения"

16) Алгебра 11 класс: "Показательная функция, ее свойства и простейшие показательные неравенства"

17) Алгебра 11 класс: "Показательные уравнения"

18) Алгебра 11 класс: "Показательные уравнения. Более сложные случаи"