Решение прямоугольного треугольника. Решение задачи B4

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

Урок: Решение прямоугольного треугольника. Решение задач В4

1. Прямоугольный треугольник, основные элементы и соотношения

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВС.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник ∆АВС

В данном треугольнике угол

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Для прямоугольного треугольника всегда справедливы равенства:

Отсюда можно выразить катет или гипотенузу через другие элементы. Имеем:

Помимо формул, которые приведены выше, существуют также формулы для связи между тригонометрическими функциями.

Познакомимся с этими формулами поближе:

1.  – первая формула, связывает тангенс с синусом и косинусом, некоторые ошибочно полагают, что это определение тангенса, но это скорее следствие из определения.

2.  – основное тригонометрическое тождество. Оно связывает синус и косинус.

3.  – связывает тангенс и косинус.

4.  – связывает котангенс и синус.

2.  Доказательство основных тригонометрических тождеств

Рассмотрим выведение основных тригонометрических формул.

1.

Распишем синус и косинус по определению:

2.

Распишем синус и косинус по определению:

В числителе, согласно теореме Пифагора, получен квадрат гипотенузы, имеем:

3.

Воспользуемся тем, что мы вывели в первой формуле:

В предыдущем доказательстве мы выяснили, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, имеем:

4.

Поступим аналогично предыдущему доказательству:

3. Пример решения прямоугольного треугольника  

Пример 1: в треугольнике ∆АВС . Найти ВС

Вспомним, что  – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Дадим 2 решения задачи.

1. Пусть

2. Пусть

Отметим, что в общем случае уравнение  имеет два решения, но для прямоугольного треугольника, где острый угол А не может превышать  , косинус может быть только положительным, поэтому второй корень сразу отбрасываем.

4. Дополнительный пример – задача из ЕГЭ 

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти AС.

Вспомним, что косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, имеем:

Пример 2: в треугольнике ∆АВС . Найти

В данном случае нам дан лишь один элемент – синус острого угла, но, оказывается, его достаточно, чтобы найти косинус того же угла. Для этого применим основное тригонометрическое тождество.

 

Пример 3: в треугольнике ∆АВС . Найти АС

Проще всего решить эту задачу будет предыдущим методом, обозначить катет через  и дальше по теореме Пифагора найти

Пусть

 

5.  Примеры решения прямоугольных треугольников

Иногда прямоугольный треугольник может быть изначально не задан, но при изучении условия он появляется, и структура решения остается той же.

Пример 4: дан равнобедренный треугольник ∆АВС, . Найти .

Проведем из вершины С, высоту CH. Получим прямоугольный треугольник ∆ACH, .

Рис. 2. Равнобедренный треугольник, иллюстрация к примеру 4

Найдем CH по теореме Пифагора.

Катет АС задан по условию как сторона равнобедренного треугольника. Катет АН равен половине заданной стороны АВ, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой (высота СН, Н – середина АВ, )

6. Некоторые хитрости при решении прямоугольных треугольников, дополнительные примеры

Одной из хитростей при решении прямоугольных треугольников является знание т. н. Пифагоровых треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 5, 12, 13:

Рис. 3. Пифагоровы треугольники

Кроме того, есть треугольники, подобные Пифагоровым, то есть такие, у которых стороны пропорциональны данным, то есть умножены на какое-то число. Например, берем треугольник со сторонами 3, 4, 5 и коэффициент подобия 2, получаем треугольник со сторонами 6, 8, 10.

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.

Вспомним, что стандартный треугольник имеет стороны 5, 12 и 13. Гипотенуза совпадает и равна 13. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, если противолежащий катет равен 5, то отношение , как и задано в условии, в таком случае прилежащий катет равен 12: .

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти ВС.

В стандартном Пифагоровом треугольнике стороны равны 3, 4, 5, , если напротив угла  лежит катет 3, а при нем катет 4, что пока соответствует заданному условию. Но т. к. гипотенуза равна  а не , значит, имеем подобный стандартному прямоугольный треугольник, необходимо определить коэффициент подобия, очевидно, что он равен 4. Домножим катеты на коэффициент подобия и получим треугольник со сторонами 12, 16, 20. Искомый катет ВС в нем равен 12.

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.

Решим данный пример вторым способом.

Предположим, что катеты треугольника равны  и , чтобы проверить эту гипотезу, запишем теорему Пифагора:

Поскольку теорема Пифагора соблюдена, заданный треугольник обладает катетами  и  и гипотенузой , искомый катет .

Итак, сегодня мы познакомились с прямоугольным треугольником, узнали, как выразить одни элементы прямоугольного треугольника через другие, познакомились с рядом формул, связывающих тригонометрические функции углов треугольника, элементы прямоугольного треугольника и решили ряд задач на применение этих формул.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Википедия (Источник).
2. ЕГЭ по математике (Источник).
3. Старая школа (Источник).
4. ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Найти недостающие элементы прямоугольного треугольника ∆АВС, :

а) ;

б) ;

в) ;

г)