Одной из хитростей при решении прямоугольных треугольников является знание т. н. Пифагоровых треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 5, 12, 13:

Рис. 3. Пифагоровы треугольники

Кроме того, есть треугольники, подобные Пифагоровым, то есть такие, у которых стороны пропорциональны данным, то есть умножены на какое-то число. Например, берем треугольник со сторонами 3, 4, 5 и коэффициент подобия 2, получаем треугольник со сторонами 6, 8, 10.

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.

Вспомним, что стандартный треугольник имеет стороны 5, 12 и 13. Гипотенуза совпадает и равна 13. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, если противолежащий катет равен 5, то отношение , как и задано в условии, в таком случае прилежащий катет равен 12: .

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти ВС.

В стандартном Пифагоровом треугольнике стороны равны 3, 4, 5, , если напротив угла лежит катет 3, а при нем катет 4, что пока соответствует заданному условию. Но т. к. гипотенуза равна а не , значит, имеем подобный стандартному прямоугольный треугольник, необходимо определить коэффициент подобия, очевидно, что он равен 4. Домножим катеты на коэффициент подобия и получим треугольник со сторонами 12, 16, 20. Искомый катет ВС в нем равен 12.

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.

Решим данный пример вторым способом.

Предположим, что катеты треугольника равны и , чтобы проверить эту гипотезу, запишем теорему Пифагора:

Поскольку теорема Пифагора соблюдена, заданный треугольник обладает катетами и и гипотенузой , искомый катет .

Итак, сегодня мы познакомились с прямоугольным треугольником, узнали, как выразить одни элементы прямоугольного треугольника через другие, познакомились с рядом формул, связывающих тригонометрические функции углов треугольника, элементы прямоугольного треугольника и решили ряд задач на применение этих формул.

Список рекомендованной литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Википедия (Источник).
ЕГЭ по математике (Источник).
Старая школа (Источник).
ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Найти недостающие элементы прямоугольного треугольника ∆АВС, :

а) ;

б) ;

в) ;

г)