Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы. Практика

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

 

Практика

Конспект урока

Вычисление периода тригонометрических функций со сложным аргументом

Основную часть урока мы посвятим решению тригонометрических уравнений и систем, но начнем с заданий на свойства тригонометрических функций, которые с решением уравнений не связаны. Рассмотрим вычисление периода тригонометрических функций со сложным аргументом.

Задача №1. Вычислить период функций а) ; б) .

Воспользуемся указанными в лекции формулами.

а) Для функции  период . В нашем случае , т.е. .

б) Для функции  период . У нас , т.к. аргумент можно представить не только разделенным на три, но и умноженным на . Остальные действия с функцией (умножение на , добавление 1) не влияет на аргумент, поэтому нас не интересуют.

Получаем, что

Ответ. а) ; б) .

Простейшие уравнения

Переходим к основной части нашей практики и начинаем решение тригонометрических уравнений. Для удобства разберем решение тех же примеров, которые мы упоминали в лекции, когда перечисляли основные виды уравнений.

Задача №2. Решить уравнение: а) ; б) ; в) ; г) .

Для нахождения корней таких уравнений пользуемся формулами общих решений.

а)

Для вычисления значений аркфункции пользуемся нечетностью арктангенса и таблицей значений тригонометрических функций, что мы подробно рассматривали на предыдущем уроке. Далее не будем отдельно останавливаться на этих действиях.

б)

в)

г) При решении уравнения  хочется написать по общей формуле, что , но этого делать нельзя. Здесь принципиально важна проверка области значений косинуса, которая проверяется вначале решения уравнения.

Поскольку , что не лежит в области значений функции, следовательно, уравнение не имеет решений.

Важно не перепутать значение  с табличным значением косинуса , будьте внимательны!

Ответ. 

 

Замечание. Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений. Давайте проделаем эти действия на примере ответа к пункту «в».

 

Дополнительная задача к пункту «в». Указать количество корней уравнения , которые принадлежат промежутку  и перечислить их.

 

Общее решение нам уже известно:

Для того чтобы указать корни, принадлежащие указанному промежутку, их необходимо по очереди выписать, подставляя конкретные значения параметра. Подставлять будем целые числа, начиная с , т.к. корни нас интересуют из диапазона, который близок к нулю.

 

 

При подстановке  мы получим еще большее значение корня, поэтому нет смысла этого делать. Теперь подставим отрицательные значения:

 

Подставлять  по тем же соображениям не имеет смысла. Следовательно, мы нашли единственный корень уравнения, который принадлежит указанному диапазону.

Ответ. ; указанному диапазону принадлежит одно значение корня уравнения.

 

Аналогичная постановка вопроса о поиске определенных значений корней уравнений может встречаться и в заданиях других типов, далее мы не будем тратить на это время. Поиск необходимых корней всегда будет выполняться аналогично. Иногда для этого изображают тригонометрическую окружность. Попробуйте сами нанести на окружность корни уравнений из пунктов «а» и «б», которые попадают в диапазон .

Частные случаи простейших уравнений

Задача №3. Решить уравнение .

Воспользуемся методом нахождения корней с использованием тригонометрической окружности, как это было показано на лекции.

Наносим на окружность точки, соответствующие углам, при которых . Такой угол один.

 

 

Первое значение угла, соответствующего указанной точке  - точка находится на луче, который является началом отсчета. Далее, чтобы попасть еще раз в эту же точку, но уже при другом значении угла, необходимо к первому найденному корню прибавить  и получим следующий корень . Для получения следующего корня необходимо проделать ту же операцию и т.д.

Таким образом, можем указать общее решение, которое будет демонстрировать, что для получения всех корней уравнения к первому значению необходимо любое целое количество раз добавлять :

Ответ..

 

Напомним, что аналогичным способом решаются уравнения вида:

 и

.

Уравнения со сложным аргументом

Задача №4. Решить уравнение . 

Наличие сложного аргумента не меняет того, что уравнение, по сути, является простейшим, и подход к решению сохраняется. Просто теперь в роли аргумента выступает . Его и пишем в формуле общего решения:

Далее выполняем преобразование линейного уравнения, пока не выразим искомую неизвестную :

 

Ответ..

Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя

Задача №5. Решить уравнение .

Самое главное, это не допустить типичную ошибку и не сократить обе стороны уравнения на , т.к. при этом мы потеряем корни уравнения, соответствующие . Грамотный подход к решению предполагает перенос всех выражений в одну сторону и вынесение общего множителя.

 

На этом этапе необходимо вспомнить, что если произведение равно нулю, то это возможно в том случае, если либо один из множителей равен нулю, либо другой. Таким образом, наше уравнение превращается в совокупность уравнений:

Первое уравнение решаем, как частный случай простейшего уравнения. Проделайте это самостоятельно, мы выпишем готовый результат. Во втором уравнении выполним действия, чтобы привести его к простейшему виду со сложным аргументом и решим по общей формуле корней.

Обратите внимание на такой нюанс – при записи общей формулы корней второго уравнения мы используем другой параметр «». Это связано с тем, что мы решаем совокупность независимых уравнений и в них не должно быть общих параметров. В результате получаем два независимых семейства решений.

Ответ. ; .

Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций

Задача №6. Решить уравнение .

Для упрощения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму 

Воспользуемся четностью косинуса и взаимоуничтожим одинаковое слагаемое в двух частях уравнения.

Перенесем все в одну сторону и воспользуемся формулой разности косинусов, чтобы получить произведение функций, которое будет равно нулю. Применим для этого формулу .

 

Cократим обе стороны уравнения на :

Мы свели уравнение к форме произведения, которая у нас получилась в предыдущем примере. Предлагаем вам самим дорешать его до конца. Укажем окончательный ответ.

В принципе, это уже окончательный ответ. Однако его можно записать компактнее в виде одного семейства решений, а не двух. В первом решении указаны все четверти частей , а во втором все половины частей , но половины входят в четверти, поскольку половина – это две четверти. Таким образом, второе семейство корней входит в первое, и итоговый ответ можно описать первым семейством решений.

Чтобы лучше разобраться в этих рассуждениях, попробуйте нанести полученные корни на тригонометрическую окружность.

Ответ.  или .

 

Мы рассмотрели одно уравнение с использованием преобразований тригонометрических функций, однако их огромное множество, как и типов преобразований. Уравнение на использование универсальной тригонометрической подстановки, пример которой мы не приводили на позапрошлом уроке, мы рассмотрим после того, как разберем метод замены.

Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены

Задача №7. Решить уравнение .

В данном случае необходимо сначала попробовать свести уравнение к использованию одной тригонометрической функции. Т.к.  легко выражается через  с использованием тригонометрической единицы, мы легко сведем уравнение к синусам.

Подставим выражение  в наше уравнение:

 

Поскольку все сведено к одной функции можем выполнить замену: .

Получили квадратное уравнение, которое легко решить любыми удобными для вас способами, например, с использованием теоремы Виета легко получить, что:

Выполним обратную подстановку:

Первое уравнение не имеет решений, т.к. значение синуса выходит за допустимую область .

Второе уравнение предлагаем вам решить самостоятельно, т.к. это уже рассмотренный нами тип частных случаев простейших уравнений. Выпишем его корни:

Ответ..

 

Задача №8. Решить уравнение .

 

В указанном уравнении сразу не видны способы решения, которые мы уже рассмотрели. В таких случаях надо попробовать применить формулы универсальной тригонометрической подстановки, которые помогут привести уравнение к одной функции.

Воспользуемся формулами:  и , которые приведут все уравнение к .

Сейчас видно, что можно выполнить замену .

Сложим дроби и умножим обе части уравнения на знаменатель, т.к. он , не равен нулю.

Мы привели уравнение к уже рассмотренной ранее форме, т.е. к произведению множителей, которое равно нулю.

Выполним обратную подстановку:

Оба полученных семейства решений можно легко объединить в одно:

Ответ..

Однородные уравнения

Задача №9. Решите уравнение . В ответ укажите только корни, кратные .

Указанное уравнение усложняется после приведения к синусам или косинусам, как это хочется сделать с помощью формулы тригонометрической единицы. Поэтому используется другой способ.

Указанное уравнение мы назвали однородным, так называют уравнения, в которых после перестановки местами неизвестных функций или переменных ничего не изменится. Переставьте местами синус с косинусом, и вы убедитесь, что это наш случай.

Решают однородные уравнения делением обеих частей на старшую степень функции. В нашем случае это или  или . Выбираем ту, которая нам больше нравится, и делим на нее обе стороны уравнения. Возьмем, например, для этого . При этом обязательно необходимо проверить, не потеряем ли мы при таком делении корни, соответствующие , т.е. . Для этого сначала подставим  в исходное уравнение.

 

Поскольку мы получили не тождество, то  не будут соответствовать корни нашего уравнения.

Теперь можем смело делить на :

 

Мы свели уравнение к замене, а такой метод решения уже был рассмотрен. Как говорится «выливаем воду из чайника» и сводим задачу к уже известной. Дорешайте далее сами. Мы укажем окончательный ответ:

Поскольку в условии задачи от нас требуют указать только корни кратные , то в ответ запишем только первое семейство решений.

Ответ..

Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций

Задача №10. Решить уравнение .

Указанное уравнение удивляет тем, что в нем две неизвестные, а как мы знаем, решить в общем случае такое уравнение нельзя. Другая проблема заключается в том, что это уравнение принципиально отличается от всех рассмотренных ранее, т.к. неизвестная в нем находится не только в аргументе тригонометрической функции.

Чтобы его решить, обратим внимание на свойства функций, которые приравниваются слева и справа. Конкретно нас интересует, какими значениями ограничены эти функции.

Для косинуса нам известна область значений:

Для квадратичной функции:

Из этого можно сделать вывод, что эти выражения могут иметь только одно общее значение, когда каждое из них равно 1. Получаем систему уравнений:

Оба уравнения получаются независимыми и содержат по одной переменной, поэтому легко решаются уже известными нам методами.

Конечно же указанный способ неочевиден, а задача относится к заданиям повышенной сложности. Данный метод иногда называют «мини-макс», т.к. используется равенство минимального и максимального значения функций.

Ответ. ; .

 

Теперь рассмотрим отдельно методы решения систем тригонометрических уравнений. Методы их решений стандартны, просто мы еще будем пользоваться формулами преобразований тригонометрических функций. Разберем самые часто встречающиеся типы таких систем.

Системы тригонометрических уравнений

Задача №11. Решить систему уравнений .

Решаем методом подстановки, выражаем из более простого линейного уравнения, например,  и подставляем его во второе уравнение:

Во втором уравнении пользуемся тем, что  является периодом синуса, т.е. его можно убрать, и синус нечетная функция, т.е. из нее выносится минус.

По формуле сложения гармонических колебаний приводим к одной тригонометрической функции второе уравнение. Попробуйте выполнить эти преобразования самостоятельно.

Подставим полученное решение в выражение для :

 

В данном случае мы используем один и тот же параметр  для обоих семейств решений, т.к. они зависимы друг от друга.

Ответ. ; .

 

Системы из простейших тригонометрических уравнений.

 

Задача №12. Решить систему уравнений .

 

Оба уравнения в системе являются частными случаями простейших уравнений, мы умеем их решать, и система быстро сводится к линейной.

Параметры в обоих уравнениях различны, т.к. мы решили уравнения независимо друг от друга и переменные еще не выражались одна через другую.

Теперь решаем линейную систему методом подстановки или сложения, как вам больше нравится, проделайте эти действия самостоятельно. Укажем конечный результат.

Обратите внимание на запись решения системы, когда переменные зависят одновременно от двух параметров. Для того чтобы выписать численные значения корней в таком случае подставляются по очереди все целые значения параметров , которые не зависят друг от друга.

Ответ.

 

В этой практической части урока мы с вами рассмотрели несколько типовых примеров,  в которых продемонстрировали методы решения тригонометрических уравнений и их систем.