Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 11. Закрепление пройденного материала. Тригонометрические неравенства. Решение различных задач повышенной сложности.
Теория
Конспект урока
Повторение тригонометрии
Начнем с повторения основных пунктов темы «Тригонометрия».
1) Изначально тригонометрические функции вводятся через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, но при этом следует помнить, что они зависят только от углов, а не от сторон треугольника.
2) При работе с тригонометрическими функциями следует привыкать к радианной мере угла, для этого необходимо запомнить формулу перевода градусов в радианы:
3) Тригонометрические функции определяются не только для углов, т.е. аргументов, которые не превышают 
и больше 
, но и для всех остальных значений. Для этого используется тригонометрическая окружность.
4) Исходя из методики работы с тригонометрической окружностью, легко получить область значений тригонометрических функций:
5) Тригонометрические функции обладают свойством периодичности: период синуса и косинуса равен 
, т.е. 
, период тангенса и котангенса равен 
, т.е. 
.
6) Между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента существуют часто использующиеся соотношения, которые называются основными тригонометрическими тождествами. Их необходимо запомнить.
7) Значения тригонометрических функций некоторых углов занесены в специальную таблицу. Они часто упоминаются в задачах, поэтому в этой таблице необходимо уверенно ориентироваться.
8) Тригонометрические функции со сложным аргументом вида 
или 
легко упрощаются с помощью формул приведения. Для них существует специальная таблица, однако проще понять принцип их применения с помощью тригонометрической окружности.
9) Для преобразования тригонометрических функций существует достаточно большое количество формул. Полезно, конечно же, помнить все формулы, которые мы привели в соответствующем уроке, однако некоторые из них можно выразить самостоятельно, например, формулы для тангенсов.
10) Для решения тригонометрических уравнений обязательно необходимо владеть основными свойствами обратных тригонометрических функций, знать их область определения и значений, а также уметь выносить минус из аргумента.
11) Все основные свойства тригонометрических функций удобно запоминать и использовать при помощи построения их графиков. К особенным свойствам таких функций следует отнести их периодичность и ограничения на их область определения и значений.
12) Все тригонометрические уравнения сводятся к простейшим вида 
, 
, 
и 
. Их общие решения необходимо запомнить, давайте еще раз их повторим:
1. 
2. 
3. 
4. 
Из таких уравнений выделяют частные случаи, когда синус или косинус равны 
. Такие уравнения решаются с помощью тригонометрической окружности.
При решении систем большинства тригонометрических уравнений используются стандартные методы, например, метод подстановки.
Тригонометрические неравенства
Теперь поговорим о решении тригонометрических неравенств. Обычно им не уделяется должное внимание по сравнению с другими видами неравенств, к тому же они относятся к задачам повышенной сложности, поэтому мы не стали выделять их в отдельный урок.
В теоретической части урока приведем общие решения простейших тригонометрических неравенств. Они неудобны для запоминания, поэтому в практической части урока мы рассмотрим методы их решения без использования указанных формул.
Все тригонометрические неравенства, как и уравнения, сводятся к простейшим, поэтому, прежде всего, необходимо уметь решать именно их.
Для синусов и косинусов общие решения простейших неравенств выглядят следующим образом:
1) 
1. 
2. 
3. 
2) 
1. 
2. 
3. 
3) 
1.
2. 
3.
4) 
1.
2. 
3.
В случае если неравенство нестрогое, в промежутки решений включаются их концы, т.е. записываются квадратные скобки. Пустое множество решений тогда имеет место при строгих ограничениях. Например:
1.
2. 
3. 
Для тангенсов и котангенсов общие решения простейших неравенств выглядят следующим образом:
5) 
6) 
7) 
8) 
В нестрогих неравенствах в промежутки решений включают только корни 
и 
, т.е. у них записываются квадратные скобки, возле концов промежутков, соответствующих асимптотам, скобки остаются всегда круглыми. Например:
.
Системы тригонометрических неравенств
Кроме тригонометрических неравенств на практическом занятии мы рассмотрим их системы. Такие задания редко встречаются и скорее в качестве исключения могут оказаться только в уровне С. Выделить какие-то отдельные их виды сложно, поэтому на практике мы просто познакомимся с одним примером для того, чтобы понять принцип решения.
На этом уроке мы повторили все основные понятия, которые нам встречались в теме «Тригонометрия», и познакомились с общими решениями тригонометрических неравенств.
В практической части урока мы рассмотрим примеры решения различных тригонометрических неравенств и более сложных задач всей темы.
После изучения всех материалов урока вы сможете с помощью среза проверить, как усвоили тему «Тригонометрия».
