Теперь перейдем к заданиям на определение области значений функции.

Задача №3. Указать область значений функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а) Получим ограничения на область значений данной функции путем преобразований ограничений на простейшую функцию :

С другой стороны важно не забыть, что корень четной степени имеет неотрицательные значения, т.е.:

Таким образом, если учесть эти оба условия, то мы получим, что

.

б) Мы уже обсуждали, что для определения области значений для квадратичной функции необходимо вычислить координату вершины ее параболы по оси ординат. Давайте вспомним из школьной программы как вычислить для начала иксовую координату вершины параболы:

Теперь найдем игрековую координату вершины, для этого подставим в функцию:

Поскольку парабола имеет положительный старший коэффициент, то ее ветки направлены вверх, и является ее минимальным значением, следовательно:

.

На следующем уроке мы с вами еще подробно разберемся с определением вершины и построением параболы.

в) Давайте сначала упростим указанное выражение, для этого раскроем скобки:

Теперь воспользуемся известными нам ограничениями на синус (синус любого аргумента лежит в диапазоне от до ):

г) Начнем поиск области значений данной функции с известного ограничения на модуль:

Теперь проанализируем, что будет, если возводить 2 в неположительную степень. Для этого запишем функцию в более удобной форме, чтобы перейти к положительной степени:

Для того чтобы указать область значений указанной функции, необходимо определить значения, которыми она ограничена. Максимальное значение дроби будет при минимальном знаменателе, в нашем случае это достигается при , тогда функция примет значение:

Минимальное значение дроби будет при максимальном знаменателе, но наш знаменатель ничем не ограничен и при аргументах, стремящихся к бесконечности, он тоже будет стремиться к бесконечности, а дробь соответственно стремится к нулю.

Таким образом, функция ограничена значениями от 0 до 1, причем, ноль не достигается, а к нему функция только стремится, а единица достигается, следовательно:

.

д) В этом случае указана линейная функция, а ее значения ничем не ограничены, следовательно

.

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Задача №4. Указать по графику область значений функции:

а)

б)

а) Обратим внимание, что на указанном графике есть горизонтальная асимптота, к которой функция прижимается, но не пересекает ее, также она не поднимается выше значения равного 2, при этом, функция убывает до минус бесконечности, следовательно

.

б) В этой функции также имеется горизонтальная асимптота, к которой прижимается функция, при этом она стремится к значению равному нулю, но не достигает его, ниже нуля у функции нет значений. А максимальное значение, которое достигается функцией равно единице, т.е.

.

Ответ. а) ; б) .

Задача №5. По указанной таблице, которая задает функцию соответствия между числами месяца и потреблением электроэнергии в эти дни, укажите максимальное значение из области определения и минимальное значение из области значений функции.

Число	3	8	12	21	29
	5,1	4,9	3,8	4	4,2

Самое главное понять, что множеством аргументов функции, т.е. ее областью определения является верхняя строка таблицы, а областью значений – нижняя строка, т.к. именно от числа месяца зависит, какое было потребление электроэнергии, а не наоборот.

Теперь указать максимальное значение из области определения, т.е. из чисел в верхней строке, не составит труда. Это число 29.

Аналогично минимальным в области значений будет число 3,8 из нижней строки.

Ответ. 29; 3,8.