Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций
Практика
Конспект урока
Построение графиков основных функций
Сначала разберем примеры на построение графиков основных функций.
Задача №1. Построить графики функций: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение. Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».
а)
|
|
|
|
0 |
-1 |
|
1 |
2 |
Как видим, 
и угол наклона к оси 
острый, 
смещение по оси 
.
б)
|
|
|
|
0 |
2 |
|
1 |
1 |
и 
можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
в)
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
2 |
угол наклона к оси
острый, 
график проходит через начало координат.
г)
константная функция, прямая проходит через точку 
и параллельно оси .
Задача №2. Построить графики функций: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение. Воспользуемся методом построения квадратичных функций «по вершине».
а)
ветки параболы направлены вверх, 
.
Если возникает вопрос, как точно строится парабола, т.е. с какой именно скоростью растут и убывают ее ветки, то можно запомнить следующий факт: если старший коэффициент 
или 
, как это часто бывает, то при смещении от иксовой координаты вершины на единицу влево или вправо значение функции сначала изменяется на 1, потом на 3, затем на 5 и т.д., т.е. на нечетные числа.
Например, в нашем графике:
Для функций, у которых старший коэффициент 
, значения изменений функции умножаются на это «
». Например, построение функции 
выглядит так:
Но, как правило такая точность построения не важна, а нужен только эскиз графика, поэтому в дальнейшем мы не будем это учитывать.
б)
ветки параболы направлены вверх, 
.
в)
ветки параболы направлены вниз, 
.
Кстати, график проходит через ноль, что легко проверить подстановкой в функцию точки 
или обратив внимание на то, что 
.
Задача №3. Построить графики функций: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение. Воспользуемся нашим методом построения дробно-рациональных функций «по асимптотам».
а)
Вертикальная асимптота определяется решением уравнения, которое показывает, что знаменатель дроби равен нулю: 
.
Горизонтальную асимптоту определим по тому быстрому способу, который мы указали в лекции. Она определяется отношением коэффициентов при иксах в числителе и знаменателе: 
.
Для определения расположения веток гиперболы подставим в функцию любую точку из области определения, т.е. кроме
, например, : 
, т.е. координаты этой точки 
через нее и проведем одну ветку гиперболы, вторая будет располагаться наискось.
Теперь строим гиперболу, прижимая ее к асимптотам:
Остальные пункты строим аналогично.
б)
Вертикальная асимптота: 
.
Горизонтальная асимптота: 
, т.е. асимптотами являются оси координат.
Проверочная точка: 
.
в)
Вертикальная асимптота: 
.
Горизонтальная асимптота: 
.
Проверочная точка: 
.
Задача №4. Построить графики функций: а) 
, б) 
, в) 
.
Решение. По сути дела, указаны функции, которые не имеют особых методов построения их графиков. Поэтому если необходимо изобразить их эскиз, то просто вспоминаем теорию, а если необходимо построить графики более точно, то следует подставить несколько контрольных точек, так и поступим.
а)
Подставим полные квадраты, чтобы вычислить из них целые значения корня.
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
4 |
2 |
б)
Подставим несколько значений и учтем общий вид графика.
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
3 |
|
2 |
9 |
Т.к. основание степени 
, то функция растет.
в)
Подставим такие значения аргумента, при которых значения логарифма будут целыми. При построении учтем общий вид графика.
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
0 |
|
2 |
-1 |
Т.к. основание логарифма 
, то функция убывает.
Исследование функции по изображенному графику
Теперь давайте попробуем научиться решать обратную задачу – по изображенному графику исследовать функцию.
Задача №5. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции 
:
а) 
б) 
в) 
г) 
Решение. Для определения знаков коэффициентов 
и 
вспомним, как от них зависят формы графиков.
а) Острый угол наклона прямой к оси 
(функция возрастает) – это 
. Точка пересечения с осью 
- это 
.
Далее аналогичные рассуждения.
б) 
в) 
г) Константная функция, т.к. график параллелен оси , т.е. 
, а .
Задача №6. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции 
:
а) 
б) 
в) 
Решение. Вспомним, как параметры 
и 
определяют положение параболы.
а) Ветви вниз, следовательно, 
.
Точка пересечения с осью 
.
Иксовая координата вершины 
.
б) Ветви вверх, следовательно, 
.
Точка пересечения с осью .
Иксовая координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, 
.
в) Ветви вниз, следовательно, .
Точка пересечения с осью 
.
Иксовая координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, 
.
Преобразование графиков функций
И теперь переходим к рассмотрению примеров на преобразование графиков функций.
Задача №7. Построить графики функций: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Решение. Когда сложная функция получена из простейшей путем нескольких преобразований, то преобразования графиков выполняются в порядке арифметических действий с аргументом, например, умножение идет до сложения и т.п.
а)
Преобразование в одно действие типа 
.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Преобразование в одно действие типа 
.
Сдвигаем график вправо на 1:
в)
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках , затем сложение .
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
Конечно же, можно построить эту функцию как квадратичную после раскрывания скобок. Проверьте это самостоятельно.
г)
Преобразование в одно действие типа 
.
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д)
Мы видим три преобразования вида 
, 
и 
.
Для выполнения преобразований в порядке действий обратим внимание, что сначала будет выполняться умножение, затем сложение, а затем смена знака. Чтобы умножение применялось ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 
вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
В этом практическом уроке мы привели множество примеров на работу с графиками функций.
