С1
а) Решите уравнение: 
.
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие 
а) .
б) 1 способ:
2 способ:
С2
В прямоугольном параллелепипеде 
известно, что 
, 
. Найти угол между 
и плоскостью 
.
 |
Рассмотрим перпендикуляр 
, но 
Значит, 
- высота 
Рассмотрим треугольник :
Ответ: 
С3
Решите систему неравенств: 
1) 
2) 
ОДЗ: 
1. 
2. 
 |
С4
Боковые стороны 
и 
трапеции 
равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые и пересекаются в точке 
. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 
.
 |
- средняя линия: 
, но 
.
Тогда 
. Продлим: 
.
: 
Аналогично: 
.
Получаем: 
- прямоугольный. 
трапеция прямоугольная.
Ответ: 2
С5
Найдите все значения 
, при каждом из которых наименьшее значение функции 
на множестве 
не меньше 6.
1) 
2) 
 |
1) 
2) 
 |
 |
3) 
- всегда
4) 
 |
Ответ: 
С6
Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записано на 10 карточках. Карточки переворачивают и смешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из этих чисел. После этого числа на каждой карточке складываются, а суммы перемножаются.
а) Может ли получиться 0?
Для того, чтобы произведение равнялось 0, необходимо, чтобы один из множителей равнялся 0. Но сумма 
, а у нас нет двух противоположных чисел в наборе.
Ответ: нет
б) Может ли в результате получиться 1?
Среди данного набора чисел 6 нечётных и 4 чётных. Это означает, что хотя бы на одной карточке с двух сторон окажутся два нечётных числа (иначе чётных чисел было бы хотя бы 5). Но тогда сумма чисел на этой карточке будет чётной. А произведение любого количества целых чисел, среди которых есть хотя бы одно чётное, будет чётным. Значит, не может равняться 1.
Ответ: нет.
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может получиться в результате?
Мы уже доказали, что число, меньшее 2, получиться не может. Вопрос – может ли получиться 2? Оказывается, нет.
Рассмотрим наборы чисел, которые записаны на карточках. И с одной, и с другой стороны содержится по 6 нечётных и по 4 чётных числа. Какое максимальное количество нечётных сумм у нас может получиться? Так как с каждой из сторон у нас по 4 чётных числа, а сумма двух чисел нечётная, если в ней одно число чётное, другое – нечётное, то таких пар не больше 8. Значит, будет ещё хотя бы две карточки, на обеих сторонах которых расположены нечётные числа. Значит, среди множителей произведения будет не меньше двух чётных чисел, а, значит, произведение будет делиться как минимум на 4.
Поэтому наименьший возможный вариант: 4. Осталось привести пример.
(1;-2), (-2;1), (-3;4), (4;-3), (-5;7), (7;-5), (-8;9), (9;-8), (10;-11), (-11;10).
