Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами.
Теория
Конспект урока
На предыдущих уроках мы обсуждали показательную функцию, решение показательных уравнений и неравенств.
Определение логарифма
Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.
Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение 
не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.
С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции 
должно равняться 5.
Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.
Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как 
– логарифм пяти по основанию 2.
То есть, определение логарифма следующее: для 
. То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма (
), чтобы получилось подлогарифмическое выражение (
).
Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:
1) 
, так как 
.
2) 
, так как 
.
3) 
, так как 
.
4)
, так как 
.
Особые виды логарифмов
Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный.
Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом: 
.
Натуральный логарифм – это логарифм с основанием 
(напомним, что 
). Он обозначается следующим образом: 
.
Основное логарифмическое тождество
Исходя из определения логарифма 
, легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: 
.
Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов
Давайте сформулируем ещё несколько основных свойств логарифмов (
).
1) 
(т.к. 
), 
2) 
3) 
4) 
5) Формула перехода к новому основанию: 
6) 
(т.к. 
)
7) 
(т.к. 
)
На этом уроке мы с вами сформулировали определение логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифма.
В практической части урока мы научимся вычислять различные логарифмы, а также преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.
Полезные ссылки:
1) Алгебра 11 класс: "Понятие логарифма"
2) Алгебра 11 класс: "Понятие логарифма. Простейшие задачи"
3) Алгебра 11 класс: "Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного"
4) Алгебра 11 класс: "Свойства логарифмов. Логарифм степени"
5) Алгебра 11 класс: "Свойства логарифмов. Решение более трудных задач"
6) Алгебра 11 класс: "Переход к новому основанию логарифма"
7) Алгебра 11 класс: "Переход к новому основанию логарифма. Решение задач"
