Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 5. Логарифмические неравенства. Системы логарифмических неравенств
Теория
Схема решения логарифмических неравенств
Конспект урока
На предыдущем уроке мы рассмотрели решение логарифмических уравнений и их систем. На этом уроке речь пойдет о логарифмических неравенствах и их системах.
Мы уже говорили о логарифмической функции и ее свойствах. Важным свойством, которым мы пользовались для решения логарифмических уравнений: монотонность.
Для 
график логарифмической функции выглядит следующим образом:
- возрастающая функция: чем больше 
, тем больше 
. Значит, 
. В отличие от уравнений, здесь проверкой обойтись не удастся, поэтому необходимо учитывать ОДЗ: 
.
Объединяя, получаем: 
.
Для 
график логарифмической функции выглядит следующим образом:
- убывающая функция: чем больше , тем меньше . Значит, 
.
ОДЗ: .
Объединяя, получаем: 
.
Проверка ОДЗ при решении логарифмических неравенств
Лучше всего начинать решение неравенств с проверки ОДЗ. Поскольку даже на первом шаге решения можно получить выражение с измененной ОДЗ.
Например:
ОДЗ: 
А после преобразований: 
ОДЗ: 
 |
Как быстро определить знак логарифма
Рассмотрим такой полезный факт: как быстро определить знак логарифма?
Рассмотрим два случая:
1) : 
2) : 
Таким образом, 
, если 
и 
лежат по одну сторону от 1, и 
, если и лежат по разные стороны от 1.
Основные виды логарифмических неравенств
1) Простейшие 
2) Сводящиеся к простейшим 
3) С использованием свойств логарифмов 
4) С заменой 
5) С переменной в основании 
Системы логарифмических неравенств
Системы логарифмических неравенств решаются аналогично системам показательных неравенств: каждое из неравенств решается по отдельности, а затем находится пересечение.
Пример: 
На этом уроке мы обсудили метод решения простейших логарифмических неравенств, виды логарифмических неравенств и их систем. В практической части мы разберем основные методы решения логарифмических неравенств и их систем.
Полезные ссылки:
1) Алгебра 11 класс: "Логарифмические неравенства"
2) Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических неравенств"
3) Алгебра 11 класс: "Решение логарифмических неравенств (продолжение)"
