Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 6. Закрепление пройденного материала. Степенно-показательная функция. Решение различных задач повышенной сложности
Теория
Конспект урока
На этом уроке мы повторим и систематизируем все полученные в этой теме знания.
Свойства степени и логарифма
Давайте в начале повторим свойства степени.
1) 
2) 
3) 
4) 
;
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Теперь вспомним определение логарифма: 
И перечислим основные свойства логарифмов.
Свойства логарифмов 
1) 
; 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
(основное логарифмическое тождество).
Свойства показательной и логарифмической функции
В этой теме мы рассматривали две важные взаимосвязанные функции: показательную и логарифмическую. Изучая их свойства, мы смогли прийти к методам решения простейших показательных и логарифмических уравнений.
Рассмотрим свойства этих функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция общего вида |
Функция общего вида |
|
|
|
|
|
|
возрастающая функция.
убывающая функция.
Метод решения простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств
Обе функции монотонны. И благодаря этому мы получали алгоритмы решений простейших уравнений и неравенств:
|
|
|
|
|
|
Кроме того, мы рассмотрели методы решения различных показательных и логарифмических уравнений, неравенств и их систем.
На завершающем эту тему уроке поговорим об особом виде функции: степенно-показательной.
Степенно-показательная функция и два подхода к решению степенно-показательных уравнений и неравенств
Степенно-показательная функция – это функция вида 
, то есть функция, у которой и основание и показатель степени зависят от переменной.
Существуют разные подходы к решению степенно-показательных уравнений 
.
Если мы рассматриваем уравнение: 
как числовое равенство, то две степени с одинаковым основанием могут быть равны в одном из четырех случаев:
- если основание степени равно -1;0;1, то степени могут быть равными даже тогда, когда их показатели разные;
- в остальных случаях степени с одинаковым основанием равны, только если показатели равны.
Ответ: 
.
Если же рассматривать это уравнение как равенство с переменной и встать на функциональную точку зрения, то функция 
, как правило, определена при 
(основание). И тогда: 2 корня ‑ 1 и 2.
Обобщение: при решении , если из условия не следует, что 
, необходимо рассмотреть 3 особых случая: 
, а затем приравнивать 
и 
.
Если же 
‑ особый случай; 
.
Более подробно о решении степенно-показательных уравнений и неравенств поговорим в практической части урока.
На этом уроке мы повторили изученный ранее материал, а также обсудили два подхода к решению степенно-показательных уравнений и неравенств. В практической части мы разберем решение сложных задач по этим темам.
Полезные ссылки:
1) Алгебра 11 класс: "Показательно-степенные неравенства"
2) Алгебра 11 класс: "Показательные неравенства. Более сложные случаи"
3) Алгебра 11 класс: "Показательные уравнения. Более сложные случаи"
4) Алгебра 11 класс: "Свойства логарифмов. Решение более трудных задач"
5) http://interneturok.ru/ru/school/repetitorskiy-proekt/podgotovka-k-ege-po-algebre/algebra/urok-14-zakreplenie-proydennogo-materiala-primenenie-gmt-i-grafikov-funktsiy-k-resheniyu-razlichnyh-zadach-reshenie-razlichnyh-zadach-povyshennoy-slozhnosti-teoriya
