При начале изучения тригонометрии иногда возникают сложности в преобразовании выражений, содержащих тригонометрические функции.

Давайте для примера посмотрим на определенные выражения.

: хочется написать, что это равно , т.е. как бы вынести двойку наружу.

: в данном случае так и хочется как бы раскрыть скобки и написать, что это выражение равно .

: а здесь просто взять и перемножить синусы и углы и получить, что это выражение равно или .

Однако все указанные действия мы выполнили неправильно, более того, стоит запомнить, что допускать такие ошибки ни в коем случае нельзя.

Проблема в понимании преобразований подобных выражений возникает, видимо, из-за того, что тригонометрические функции и логарифмы – это единственные функции, которые в стандартной школьной программе обозначаются в виде специальных буквенных сокращений. Большую часть обучения в школе используются функции, которые заданы в виде простейших арифметических действий: сложения/вычитания, умножения/деления или возведения в степень и извлечения корня. Они обозначены специальными значками, а обозначение, например синуса в виде записи может привести к ошибочному мнению, что синус как бы умножается на , т.е. можно записать следующим образом:

Но это принципиально не верно, и если у вас было примерно такое представление, то необходимо сразу же от него избавиться!

Давайте разберемся на более привычном примере. Рассмотрим функцию . Мало кому придет в голову, что ее можно преобразовать как корень, умноженный на переменную , т.е. . Это выглядит как глупость, т.к. умножать значок корня на число бессмысленно. Точно так же следует относиться и к обозначениям тригонометрических функций. Хоть они пишутся в виде набора символов, которые так и хочется перепутать с переменными, но тот же - это просто значок, и он не может ни на что умножаться, а просто обозначает определенное действие от аргумента.

Теперь, если понять, что записи всех тригонометрических функций являются просто обозначениями определенных действий, то совсем не факт, что для этих действий можно открывать скобки привычным для нас способом или выносить за знак этих действий аргументы.

Наглядными примерами здесь могут послужить все те же функции извлечения квадратного корня, для которых неверны такие равенства:

Вы можете это легко проверить, подставив.

Таким образом, не для всех функций верны привычные действия вынесения общего множителя или стандартного раскрытия скобок. И тригонометрические функции являются ярким примеров этого.

Однако это не означает, что мы не сможем преобразовывать выражения такого вида, как мы указали в начале урока: , , и т.п. Просто для их преобразований будут применяться специальные формулы. Мы не будем их доказывать, если вам интересно ознакомиться с происхождением этих формул подробнее, повторите главу «Преобразование тригонометрических выражений» из курса 10 класса.