Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 9. Обратные тригонометрические функции.
Теория
Конспект урока
Понятие обратной тригонометрической функции
Вспомним, когда мы встречаемся с таким понятием как обратная функция. Например, рассмотрим функцию возведения в квадрат. Пусть у нас есть квадратная комната со сторонами по 2 метра и мы хотим вычислить ее площадь. Для этого по формуле пощади квадрата возводим двойку в квадрат и в результате получаем 4 м2. Теперь представим себе обратную задачу: мы знаем площадь квадратной комнаты и хотим найти длины ее сторон. Если мы знаем, что площадь равна все тем же 4 м2, то выполним обратное действие к возведению в квадрат – извлечение арифметического квадратного корня, который нам даст значение 2 м.
Таким образом, для функции возведения числа в квадрат обратной функцией является извлечение арифметического квадратного корня.
Конкретно в указанном примере у нас не возникло проблем с вычислением стороны комнаты, т.к. мы понимаем, что это положительное число. Однако если оторваться от этого случая и рассмотреть задачу более общим образом: «Вычислить число, квадрат которого равен четырем», мы столкнемся с проблемой – таких чисел два. Это 2 и -2, т.к. 
тоже равна четырем. Получается, что обратная задача в общем случае решается неоднозначно, и действие определения числа, которое в квадрате дало известное нам число? имеет два результата. Это удобно показать на графике:
 |
А это значит, что такой закон соответствия чисел мы не можем назвать функцией, поскольку для функции одному значению аргумента соответствует строго одно значение функции.
Для того чтобы ввести именно обратную функцию к возведению в квадрат и было предложено понятие арифметического квадратного корня, который дает только неотрицательные значения. Т.е. для функции 
обратной функцией считается 
.
Аналогично существуют и функции, обратные к тригонометрическим, их называют обратными тригонометрическими функциями. К каждой из рассмотренных нами функций существует своя обратная, их называют: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Эти функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, с использованием таблицы значений основных тригонометрических функций можно вычислить синус какого угла равен 
. Находим это значение в строке синусов и определяем, какому углу оно соответствует. Первое, что хочется ответить, что это угол 
или 
, но если у вас в распоряжении таблица значений до 
, вы тут же заметите еще одного претендента на ответ, - это угол 
или 
. А если мы вспомним о периоде синуса, то поймем, что углов, при которых синус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для косинусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью.
Т.е. мы сталкиваемся с той же проблемой, которая была для вычисления значения аргумента по значению функции для действия возведения в квадрат. И в данном случае для обратных тригонометрических функций было введено ограничение области значений, которые они дают при вычислении. Это свойство таких обратных функций называют сужением области значений, и оно необходимо для того, чтобы их можно было называть функциями.
Для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно. Например, арксинус возвращает значения углов в диапазоне от 
до 
.
Умение работать с обратными тригонометрическими функциями нам пригодится при решении тригонометрических уравнений.
Сейчас мы укажем основные свойства каждой из обратных тригонометрических функций. Кто захочет познакомиться с ними более подробно, обратитесь к главе «Решение тригонометрических уравнений» в программе 10 класса.
Функция арксинус и ее график
Рассмотрим свойства функции арксинус и построим ее график.
Определение.Арксинусом числа x называют такое значение угла y, для которого 
. Причем 
как ограничения на значения синуса, а 
как выбранный диапазон углов.
Основные свойства арксинуса:
1) 
при ,
2) 
при .
Основные свойства функции арксинус:
1) Область определения 
;
2) Область значений 
;
3) Функция нечетная 
Эту формулу желательно отдельно запомнить, т.к. она полезна для преобразований. Также отметим, что из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;
4) Функция монотонно возрастает.
Построим график функции :
Обратим внимание, что никакой из участков графика функции не повторяется, а это означает, что арксинус не является периодической функцией, в отличие от синуса. То же самое будет относиться и ко всем остальным аркфункциям.
Функция арккосинус и ее график
Рассмотрим свойства функции арккосинус и построим ее график.
Определение.Арккосинусом числа x называют такое значение угла y, для которого 
. Причем как ограничения на значения синуса, а 
как выбранный диапазон углов.
Основные свойства арккосинуса:
1) 
при ,
2) 
при .
Основные свойства функции арккосинус:
1) Область определения ;
2) Область значений 
;
3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида 
. Эту формулу тоже желательно запомнить, она пригодится нам позже;
4) Функция монотонно убывает.
Построим график функции :
Функция арктангенс и ее график
Рассмотрим свойства функции арктангенс и построим ее график.
Определение.Арктангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого 
. Причем 
т.к. ограничений на значения тангенса нет, а 
как выбранный диапазон углов.
Основные свойства арктангенса:
1) 
при ,
2) 
при .
Основные свойства функции арктангенс:
1) Область определения 
;
2) Область значений 
;
3) Функция нечетная 
. Эта формула тоже полезна, как и аналогичные ей. Как в случае с арксинусом, из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;
4) Функция монотонно возрастает.
Построим график функции :
Функция арккотангенс и ее график
Рассмотрим свойства функции арккотангенс и построим ее график.
Определение.Арккотангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого 
. Причем т.к. ограничений на значения котангенса нет, а 
как выбранный диапазон углов.
Основные свойства арккотангенса:
1) 
при ,
2) 
при .
Основные свойства функции арккотангенс:
1) Область определения ;
2) Область значений 
;
3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида
. Запомните и эту формулу, она нам тоже пригодится;
4) Функция монотонно убывает.
Построим график функции :
Соотношения между обратными тригонометрическими функциями
Между рассмотренными обратными тригонометрическими функциями существует два полезных соотношения, которые позволяют выражать одну функцию через другую:
На этом уроке мы с вами рассмотрели такое понятие как обратная тригонометрическая функция, узнали их виды, свойства и построили графики.
В практической части урока мы займемся преобразованием выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Полезные ссылки:
1) Алгебра 10 класс: "Арккосинус"
2) Алгебра 10 класс: "Арксинус"
3) Алгебра 10 класс: "Арктангенс и решение уравнения tg x=a"
4) Алгебра 10 класс: "Арккотангенс и решение уравнения ctg x=a"
