Первообразная

1. Введение

Пример нахождения первообразной

Математические задачи, операции часто различаются как прямые и обратные. Например: сложение и вычитание, умножение и деление. Мы в последнее время занимались дифференцированием, то есть нахождением производных. На этом уроке мы займемся обратной операцией – интегрированием, или нахождением первообразных.

Прямая задача:

Дано: .

Найти:.

Пример:

Обратная задача:

Дано: .

Найти: .

Пример:

 

 – первообразная для .

Строгое определение первообразной функции

Определение:

Функцию  называют первообразной для функции  на заданном промежутке , если для всех  выполняется равенство:

2. Рассмотрение задач на основе определения первообразной функции

Закрепим определение конкретными примерами.

Примеры:

 – первообразная для , так как

 – первообразная для , так как

, то есть 

 – первообразная для , так как

 

3. Таблица первообразных, проверка и обоснование

Вспомним, что для нахождения производных существовала таблица производных. Точно так же, для нахождения первообразных, имеется таблица первообразных, часть которой представлена далее (Табл. 1):

	Функция	Первообразная
1	0	1
2	1
3
4
5

Табл. 1. Таблица первообразных

Проверим рассмотренную часть таблицы, то есть проверим определение:

1. 

2.

3.

4.

5. 

Таким образом, эта часть таблицы проверена.

Продолжим изучение и обоснование таблицы. Следующая часть таблицы первообразных представлена ниже (Табл. 2):

	Функция	Первообразная
6
7
8
9
10

Табл. 2. Таблица первообразных (продолжение)

Полезно проверить, обосновать и доказать данную часть таблицы.

6. 

7.

8.

9. 

10. 

Таблица обоснована.

4. Решение примеров и задач на определение первообразной

Теперь мы имеем определение первообразной и таблицу первообразных, обоснованную этим определением. Продолжим решение задач на определение первообразной.

Докажите:

 

а)

Доказательство:

б)

Доказательство:

Рассмотрим еще одну задачу.

Докажите:

 

Доказательство:

Напоминание:

1.

2.

Рассмотрим задачу с тангенсом.

Докажите:

Доказательство:

Рассмотрим задачу с косинусом.

Докажите:

 

Доказательство:

Рассмотрим аналогичную задачу с иррациональным выражением.

Докажите:

Доказательство:

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Bymath.net (Источник).
3. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Проверьте, что функция  является первообразной для функции  на промежутке .
2. Проверьте, что функция  является первообразной для функции . Найдите общий вид первообразных для , если:
3. Найдите общий вид первообразных для функции: .
4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 984–992