Повторение

Повторение начнем с основного определения. Что такое первообразная?

1. Определение. Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех из выполняется равенство .

Пример. Мы умеем дифференцировать функцию .

Значит,

2. Основная задача интегрального исчисления:

Найти , зная – скорость ее изменения.

3. Если – одно из решений задачи, то – множество всех ее решений.

. Все это множество называется неопределенным интегралом.

Итак, нахождение первообразной – это восстановление функции по ее скорости.

Если физический прибор дает скорость, а мы находимся на борту или в автобусе, или в автомобиле и умеем интегрировать, то мы найдем путь. Если прибор дает ускорение, а мы умеем интегрировать, то мы найдем скорость. А если мы скорость проинтегрируем, мы получим расстояние. Если проинтегрировать по 3-м осям, то мы можем знать месторасположение летательного аппарата в каждый момент времени.

4. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и тремя прямыми. Рис. 1.

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и тремя прямыми

Вспомним, как мы искали площадь:

Разбили отрезок на одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчатой ломаной, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили в пределе и

этот предел назвали определенным интегралом и обозначили его .

Таким образом, мы определили площадь, но еще находить ее численно не умели.

Как же мы численно смогли найти площадь криволинейной трапеции?

Рис. 2. Функция S(x)

Ввели функцию . Рис. 2. Каждому площадь под соответствующей частью кривой .

Мы доказали, что производная этой же функции . Значит – первообразная. И – приращение первообразных на отрезке То есть, можно взять первообразную в точке и отнять первообразную в точке . И таким образом получить формулу .

Итак, нахождение площади криволинейной трапеции – важное применение первообразной.

5. Выпишем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Найти площадь под кривой

. Рис. 3.

Площадь ищется следующим образом:

Рис. 3. Площадь под кривой

Повторим: Нужно найти одну из первообразных и взять пределы от a до b, – любая функция, важно, чтобы она была непрерывной

6. Далее с помощью первообразных мы научились находить площадь между двумя кривыми.

Постановка задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Рис. 4.

Рис. 4. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Площадь такой фигуры вычисляется следующим образом:

где – одна из первообразных разности .

Таким образом, мы повторили опорные факты.

Перейдем к конкретным примерам и задачам на площадь. Вот первый из них: