Первая задача. (О площади криволинейной трапеции)

Формулируется следующим образом:

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: на отрезке ,

– ось . Найти площадь . Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея метода – разбить отрезок на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к первой задаче

Рассмотрим подробно первое действие. А именно разбиение отрезка на равных частей. Отрезок разбивается на равных частей точками .

Величина .

Важно отметить особенности построения. Если , независимо от того, разобьем мы отрезок на 100, 200 или больше частей.

Второе действие. Зафиксируем и приближенно найдем площадь в

Как мы это сделаем? Площадь искомой криволинейной трапеции заменим поступенчастой линией. Значение функции на отрезке [] мы заменим значением функции в левом конце . Таким образом, мы имеем прямоугольники. У них одинаковые основания. А высота – значения функции в левом конце.

Площадь первого прямоугольника .

Площадь второго прямоугольника .

И так далее.

Таким образом, мы разбили площадь на отдельные прямоугольники, сосчитали площадь каждого прямоугольника и суммируем эти площади, получаем:

Итак, при фиксированном примерное значение функции мы имеем. Но это примерное. Как получить точное?

Устремим . Тогда ступенчатая ломаная будет стремиться занять положение функции . И сумма будет стремиться к искомой площади. Более точно: .