Повторение основных свойств функции y=e^x,
Напомним, что показательной называется функция вида 
. График выглядит так:
Рис. 1. График показательной функции
График функции возрастает, если 
; если основание 
лежит в пределах 
то функция убывает.
Вспомним основные свойства.
1. 
. x может принимать любые действительные значения;
2. 
может принимать любые положительные значения;
3. 
Графики всех функций при любом значении проходят через эту точку;
4. Функция возрастает, если ;
5. Функция убывает, если 
.
Итак, мы вспомнили, что такое показательная функция и каковы ее основные свойства.
Определение числа e
Число 
Рассмотрим две конкретные показательные функции с основанием 
Вот график функции 
:
Рис. 2. График функции
Вот график функции 
:
Рис. 3. График функции
В точке 
, если проведем касательную к одному и второму графику, обнаружим, что касательная к первому графику наклонена к оси 
примерно на 
(меньше 
).
Во втором случае касательная наклонена к оси примерно на 
(больше ).
Предполагаем, и вообще это доказано, что существует между основаниями 
такое число 
, что график 
имеет касательную в точке , которая наклонена к оси ровно на .
Рис. 4. Касательная к графику функции
Итак, в первом случае касательная наклонена под углом меньше , во втором случае касательная наклонена под углом больше . И, оказывается, есть такое число 
, что касательная в точке наклонена к оси 
под углом ровно 
Это число , во-первых, расположено 
и, во-вторых, иррационально. Вот выписано несколько десятичных знаков этого числа: 
. Таким образом, мы ввели очень важное число 
Теперь рассмотрим свойства показательной функции с основанием
Свойства функции y=e
График функции выглядит так:
Рис. 5. График функции
Свойства аналогичны свойствам функции с основанием
:
;
Функция возрастает;
Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу;
Не существует ни наибольшего 
ни наименьшего 
значений;
Функция непрерывна;
Принимает все значения, когда 
;
Функция выпукла вниз;
Функция дифференцируема. Что это значит практически? Что касательную к экспоненте можно провести в любой точке.
Таковы свойства данной функции.
Производная функции
Поговорим о производной этой функции. Что мы на данный момент о ней знаем и без доказательства понимаем?
Мы говорили, что функция дифференцируема. Это значит, что касательная в любой точке существует, то есть производная существует в любой точке. Но как ее найти? Мы знаем, что производная в точке
Доказан важный факт:
При любом действительном значении 
То есть отсюда видна особенность числа . Производная, то есть скорость роста функции
в точке 
равна значению функции в этой же точке. Это основная формула, которая позволит нам дифференцировать все показательные функции.
Некоторые типовые задачи
Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на производную функции
Пример 1.
Дано:
Найти: Производную
Решение.
Вот основная формула , мы умеем дифференцировать сложную функцию.
Ответ:
=
Пример 2.
Дано:
Найти: Производную
Решение.
По тем же правилам, по которым мы дифференцируем все функции, продифференцируем и эту.
Ответ:=
Итак, зная основную формулу , мы можем решать примеры на нахождение производных.
Задача на касательную
Следующая стандартная задача на касательную.
Пример 3.
Дано:
, абсцисса точки касания
;
Найти: Уравнение касательной к данной кривой с абсциссой в 
.
Решение.
Вспоминаем уравнение касательной и стандартную методику ее построения:
Какие действия нужно сделать, чтобы составить уравнение касательной?
Найти координаты точки касания:
Итак, точка с координатами
– это точка касания (рис. 6).
Рис. 6. Точка касания
Найти производную в любой точке 
Найти конкретное значение производной в точке :
У нас все есть, чтобы заполнить уравнение касательной.
Заполняем, получаем:
Ответ:
Небольшой анализ:
Тангенс угла наклона
Ордината пересечения точки с осью 
:
Задача решена.
Задача на нахождение наименьшего значения функции
Пример 4.
Найти наименьшее значение функции
.
Решение.
Имеем производную произведения:
Приравниваем производную к нулю и убеждаемся, что 
, так как по свойству показательной функции 
всегда больше нуля.
Итак, имеем единственную критическую точку (рис. 7).
Рис. 7. Критическая точка
Если 
, то 
и функция убывает. Если 
, то 
.
Мы уже говорили, что 
– единственная критическая точка. Посчитаем значение функции в ней:
Рис. 8. Точка наименьшего значения функции
И получаем ответ: наименьшее значение функции достигается в точке 
. Рис. 8.
Ответ: 
Итак, мы познакомились с числом , показательной функцией с основанием . На следующем уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию с основанием .
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Найти производные функция в указанных точках:
а) 
;
б) 
.
2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой :
а) 
;
б) 
.
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1616, 1618, 1621, 1624.
