Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения

1. Определение показательной функции, свойства, графики

Рассмотрим основное определение.

Определение:

Функцию вида , где  и  называют показательной функцией.

Например:  и т. д.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Основные свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Например:  и т. д.

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.

2. Решение элементарных показательных уравнений и неравенств

Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции.

Пример 1 – решить уравнение:

а)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

б)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

Пример 2 – решить неравенство:

а)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

б)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2.б

3. Простейшие показательные уравнения в общем виде, конкретные примеры

Рассмотрим простейшие уравнения и неравенства.

Пример 3:

а)  (рисунок 4)

б)  , т. к. функция монотонно возрастает на всей области определения (рисунок 4)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3

Рассмотрим простейшие показательные уравнения в общем виде.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном значении аргумента.

Таким образом, получаем методику решения показательных уравнений:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней;

Например:

Пример 4 – решить уравнения:

а)

б)

Итак, мы рассмотрели показательную функцию, ее график и свойства, научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства, рассмотрели простейшие показательные уравнения в общем виде. В следующем уроке мы рассмотрим решение показательных неравенств.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics-repetition.com (Источник).
2. Terver.ru (Источник).
3. Egesdam.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1.      Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 446, 453, 460, 461;

2.      Решить неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3.      Решить уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) ;