Понятие логарифма. Простейшие задачи

1. Определение и свойства показательной функции, определение логарифма

Напомним, откуда появилось понятие логарифма. Для этого вспомним понятие показательной функции и ее важнейшие свойства.

Показательная функция – это функция вида , где  и :

Рис. 1. График показательной функции

На графике красным показана показательная функция с основанием, меньшим единицы (), а черным – с основанием, большим единицы ().

Основные свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонно возрастает при  и монотонно убывает при

Как и с любой функцией, с показательной связаны две основные задачи:

Прямая – по заданному значению аргумента определить значение функции:

Обратная – по заданному значению функции определить значение аргумента:

Существует ли х? Да, существует. При выполнении всех заданных условий решение уравнения существует, и оно единственное. Проиллюстрируем:

Рис. 2. Графическое решение уравнения  для  (левее) и  (правее)

Каждое положительное значение b функция  достигает при единственном значении аргумента. Данное значение аргумента носит название логарифма:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

2. Основное логарифмическое тождество, простейшие примеры

3. Решение уравнений с логарифмами

Примеры:

Пример 1 – решить уравнение: (Рис. 3).

а)

Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:

По определению логарифма:

б)  (Рис. 4).

Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:

По определению логарифма:

в)  (Рис. 5).

По определению логарифма:

Cогласно основному логарифмическому тождеству ()

То есть, мы, как и раньше, уравняли основания степеней и получили ответ.

г)  (Рис. 6).

По определению логарифма:

Cогласно основному логарифмическому тождеству ()

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.а

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1.б

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1.в

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1.г

Пример 2:

Доказать, что число  – иррациональное.

Напомним, что рациональными числами называются дроби, где числитель – любое целое, а знаменатель – любое натуральное число:

Доказательство – от противного:

Пусть число  – рациональное. Мы знаем, что данное число положительно. Получаем:

Тогда по основному правилу имеем:

Возведем обе части полученного уравнения в степень n:

Получили противоречие:  имеет простые сомножители числа 3, а  – числа 2,  не кратно двум:

Полученное противоречие доказывает, что число  – иррациональное.

Пример 3 – решить неравенство: Рис. 7.

Способ 1 – решить уравнение и использовать свойства показательной функции:

По определению логарифма:

Рис. 10.7. Иллюстрация к примеру 3

Нас интересуют те значения аргумента, при которых показательная функция больше линейной. Очевидно, что это значения

Ответ:

Способ 2 – уравнять основания:

Применим основное логарифмическое тождество:

Основание степени больше единицы, получаем ответ:

Получили такой же ответ, как и при решении первым способом.

4. Решение других типовых задач

Пример 4 – вычислить:

а)

Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:

Применим основное логарифмическое тождество:

б)

Согласно определению, степень с отрицательным показателем можно представить в виде дроби:

Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:

Применим основное логарифмическое тождество:

Итак, на данном уроке мы вспомнили определение и свойства показательной функции, определение и основные свойства логарифма. Также мы научились решать основные типовые задачи с логарифмами. Далее мы перейдем к изучению логарифмической функции.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).
2. Mathematics.ru (Источник).
3. Bymath.net (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 488–490;

2. Решить уравнение:

3. Решить неравенство: