1. Определение и свойства показательной функции, определение логарифма
Напомним, откуда появилось понятие логарифма. Для этого вспомним понятие показательной функции и ее важнейшие свойства.
Показательная функция – это функция вида 
, где 
и 
:
Рис. 1. График показательной функции
На графике красным показана показательная функция с основанием, меньшим единицы (
), а черным – с основанием, большим единицы (
).
Основные свойства показательной функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при
Как и с любой функцией, с показательной связаны две основные задачи:
Прямая – по заданному значению аргумента определить значение функции: 
Обратная – по заданному значению функции определить значение аргумента: 
Существует ли х? Да, существует. При выполнении всех заданных условий решение уравнения существует, и оно единственное. Проиллюстрируем:
Рис. 2. Графическое решение уравнения 
для (левее) и (правее)
Каждое положительное значение b функция 
достигает при единственном значении аргумента. Данное значение аргумента носит название логарифма:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
2. Основное логарифмическое тождество, простейшие примеры
3. Решение уравнений с логарифмами
Примеры:
Пример 1 – решить уравнение: (Рис. 3).
а) 
Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:
По определению логарифма:
б) 
(Рис. 4).
Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:
По определению логарифма:
в) 
(Рис. 5).
По определению логарифма:
Cогласно основному логарифмическому тождеству (
)
То есть, мы, как и раньше, уравняли основания степеней и получили ответ.
г) 
(Рис. 6).
По определению логарифма:
Cогласно основному логарифмическому тождеству ()
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.а
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1.б
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1.в
Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1.г
Пример 2:
Доказать, что число 
– иррациональное.
Напомним, что рациональными числами называются дроби, где числитель – любое целое, а знаменатель – любое натуральное число:
Доказательство – от противного:
Пусть число – рациональное. Мы знаем, что данное число положительно. Получаем:
Тогда по основному правилу имеем:
Возведем обе части полученного уравнения в степень n:
Получили противоречие: 
имеет простые сомножители числа 3, а 
– числа 2, не кратно двум:
Полученное противоречие доказывает, что число – иррациональное.
Пример 3 – решить неравенство: Рис. 7.
Способ 1 – решить уравнение и использовать свойства показательной функции:
По определению логарифма:
Рис. 10.7. Иллюстрация к примеру 3
Нас интересуют те значения аргумента, при которых показательная функция больше линейной. Очевидно, что это значения 
Ответ: 
Способ 2 – уравнять основания:
Применим основное логарифмическое тождество:
Основание степени больше единицы, получаем ответ:
Получили такой же ответ, как и при решении первым способом.
4. Решение других типовых задач
Пример 4 – вычислить:
а) 
Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:
Применим основное логарифмическое тождество:
б) 
Согласно определению, степень с отрицательным показателем можно представить в виде дроби:
Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:
Применим основное логарифмическое тождество:
Итак, на данном уроке мы вспомнили определение и свойства показательной функции, определение и основные свойства логарифма. Также мы научились решать основные типовые задачи с логарифмами. Далее мы перейдем к изучению логарифмической функции.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 488–490;
2. Решить уравнение:
3. Решить неравенство:
