Примеры:

Пример 1 – решить уравнение: (Рис. 3).

а)

Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:

По определению логарифма:

б) (Рис. 4).

Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:

По определению логарифма:

в) (Рис. 5).

По определению логарифма:

Cогласно основному логарифмическому тождеству ()

То есть, мы, как и раньше, уравняли основания степеней и получили ответ.

г) (Рис. 6).

По определению логарифма:

Cогласно основному логарифмическому тождеству ()

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.а

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1.б

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1.в

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1.г

Пример 2:

Доказать, что число – иррациональное.

Напомним, что рациональными числами называются дроби, где числитель – любое целое, а знаменатель – любое натуральное число:

Доказательство – от противного:

Пусть число – рациональное. Мы знаем, что данное число положительно. Получаем:

Тогда по основному правилу имеем:

Возведем обе части полученного уравнения в степень n:

Получили противоречие: имеет простые сомножители числа 3, а – числа 2, не кратно двум:

Полученное противоречие доказывает, что число – иррациональное.

Пример 3 – решить неравенство: Рис. 7.

Способ 1 – решить уравнение и использовать свойства показательной функции:

По определению логарифма:

Рис. 10.7. Иллюстрация к примеру 3

Нас интересуют те значения аргумента, при которых показательная функция больше линейной. Очевидно, что это значения

Ответ:

Способ 2 – уравнять основания:

Применим основное логарифмическое тождество:

Основание степени больше единицы, получаем ответ:

Получили такой же ответ, как и при решении первым способом.