Тема: Повторение
Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)
1. Методика построения эскизов графиков функций
Наша цель – построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:
Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.
Методика построения эскиза такова:
1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)
Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.
Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:
Найдем корни:
Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения – корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:
На интервале 
функция имеет знак плюс
На интервале 
функция имеет знак минус.
В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.
Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.
1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции 
и 
:
Рис. 2. График в окрестностях корней
Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.
2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции 
и 
:
Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ
Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.
Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.
Рис. 4. Эскиз графика функции
Рассмотрим следующую важную задачу – построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
Иногда можно встретить такую запись данного факта:
Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек
Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.
2. Решение примера №1
Пример 1 – построить эскиз графика функции:
Строим эскиз графика функции без использования производной.
Сначала исследуем заданную функцию:
ОДЗ: 
Корень: 
Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.
Отметим, что заданная функция нечетная.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда 
или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.
Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.
Найдем производную функции:
Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.
Проиллюстрируем:
Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1
3. Решение примера №2
Пример 2 – построить эскиз графика функции:
Строим эскиз графика функции без использования производной.
Сначала исследуем заданную функцию:
ОДЗ: 
Корень:
Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.
Отметим, что заданная функция нечетная.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.
Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.
Найдем производную функции:
Выделяем интервалы знакопостоянства производной: 
при 
. ОДЗ здесь . Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства производной и три участка монотонности исходной функции. Определим знаки производной на каждом интервале. Когда 
производная положительна, функция возрастает; когда 
производная отрицательна, функция убывает. При этом 
– точка минимум, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс; наоборот, точка максимума.
Таким образом, функция меняется в пределах 
Проиллюстрируем:
Рис. 7. Эскиз графика функции к примеру 2
Итак, мы рассмотрели построение графика дробно-квадратичной функции, далее будем рассматривать график дробно-линейной функции.
Список рекомендованной литературы:
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:
1. Terver.ru (Источник).
2. Егэ по математике (Источник).
3. Институт менеджмента, маркетинга и финансов (Источник).
Рекомендованное домашнее задание:
1. Построить эскизы графиков функций:
