Функции с радикалами

Рассмотрение характеристик функций

Начнем с рассмотрения следующих функций:

а)  – корень чётной степени;

б)  – корень нечётной степени.

Рассмотрим графики функций  и .

а)                                                                 

б)

Рис. 1. Графики функций  и

У функций отличается характеристика.

1. У функции  область определения: (); область значения: ()

2. У функции  область определения: (); область значения: ()

Общие черты этих функций: обе функции возрастают на всей области определения. Подтвердим это производной.

а) функция  

В точке 0 производной не существует.

Если  очень маленький, то дробь очень большая, производная большая и скорость роста большая. А если  очень большой, то дробь маленькая, скорость роста маленькая. Но функция везде возрастает. Касательная в точке 0 вертикальная. График проходит через т.  и .

б) функция

Производная в точке 0 не существует (), функция в точке 0 существует. Производная , значит, функция везде возрастает.

Построение графика функции с радикалом

Пример.

Решение.

1. Построение без производной:

ОДЗ :

 

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

2. Находим корни функции:

Имеем 2 корня:

3. Выделяем интервалы знакопостоянства.

Они выделены на графике (рис. 2). Определяем знак функции на этих интервалах. Методом подстановки видно, что на интервале  функция отрицательная и график функции расположен под осью .

На интервале  функция положительна и график расположен над осью .

4. а) Строим график функции в окрестности каждого корня.

Корень : график пойдёт из – в +.

Корень : график в окрестности этого корня должен подниматься.

б) Строим график функции в окрестности точки разрыва области определения.

Здесь нет этих точек, поэтому исследуем поведение функции на бесконечно удалённых точках. Когда  стремится к минус бесконечности ( ), то функция тоже стремится к минус бесконечности.

Построение графика функции с помощью производной

Суть в том, чтобы найти производную, выделить интервалы знакопостоянства, исследовать критические точки.

Построение: ищем производную.

Решение:                                                      

(

Производные найдены. Подставляем и упрощаем:

Производную приравниваем к нулю:

 – это единственная критическая точка для данной функции.

Производная здесь равна нулю.

Рис. 3. Интервалы знакопостоянства функции

На рисунке 3 показаны интервалы знакопостоянства функции. Когда производная положительная, функция возрастает, когда производная отрицательная, функция убывает.  – это точка максимума.

Находим значение функции в точке максимума, то есть подставляем в саму функцию.

 

То есть .

График функции построен. Прочтём его (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

Если аргумент возрастает от минус бесконечности до , то функция возрастает – от бесконечности до заданного числа . Если аргумент возрастает от  до 2, то функция убывает от  до 0. В точке 2 производной не существует, касательная является вертикальной прямой.

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 1. Решение уравнений с параметром а

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

а) имеет хотя бы одно решение.

б) имеет ровно одно решение.

Решение. Используем стандартную методику. Она требует:

1. Рассмотреть функцию, стоящую в левой части, и построить её график (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

2. Рассечь этот график семейством прямых , определить точки пересечения и выписать ответ.

а) Выпишем те , при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Если  очень большое, то решений нет. Если , то хотя бы одно решение есть (это множество совпадает с областью значений функции). По существу, это чтение графика.

б) Выпишем те , при которых уравнение имеет ровно одно решение.

Во первых, это  и все  

Ответ: а)  ; б)  ,  

Задача 2. Построение графика функций с радикалом

Построить график функции

Решение.

Построение без производной

1. ОДЗ:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Далее, корни функции.

 когда  или .

На графике рис. 6 показаны интервалы знакопостоянства функции.

Определяем знак функции на каждом интервале. Функция положительна везде.

Построим эскиз графика в окрестности каждого корня. Точка 0 – точка минимума, так как с двух её сторон функция положительна. В окрестности -1 функция возрастает, так как везде функция положительна, график расположен над осью .

Далее исследуем поведение функции, когда , .

Далее определяем производную, определяем интервалы знакопостоянства, исследуем критические точки.

Итак, нашли выражение для производной.

Далее, производную приравниваем к нулю:

И находим:

Производная не определена в точке .

Выделяем интервалы знакопостоянства производной (рис. 7).

Рис. 7. Интервалы знакопостоянства производной

На первом интервале производная положительная, на втором – отрицательная, на третье – положительная. Заметим, что - – это точка максимума. Производная при переходе через эту критическую точку меняет знак с + на -. 0 – это точка минимума.

Найдём значение функции в точке - . Подставляем эту точку в саму функцию.

 

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

То есть, при ,функция равна . Мы уточняем поведение кривой и заметим, что в точке -1 производной не существует. Значит касательная здесь вертикальная. Таким образом график функции построен (рис. 8).

Задача 3. Нахождение числа корней уравнения с параметром

Найти число корней уравнения с параметром

Решение.

Вспомним, что значит решить уравнение с параметром. Это значит перебрать все значения параметра и для каждого значения указать ответ.

1. Строим график функции, стоящей в левой части (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

2. Рассечь этот график семейством прямых  и выписать ответ.

Если  отрицательное, то никакого пересечения нет.

Если  большое, то пересечение одно. Выписываем ответ.

Ответ. 1. нет корней ; 2. один корень при  ; 3. два корня при ; .

Итак, мы рассмотрели функции с радикалами. На следующем уроке мы рассмотрим линейные функции.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник). 
2. Math.wikia.com (Источник). 
3. Fizmat.by (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Определите область определения функции 
2. Построить график функции
3. Найдите число корней уравнения
4. Построить график функции