Построить график функции

Решение.

Построение без производной

1. ОДЗ:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Далее, корни функции.

когда или .

На графике рис. 6 показаны интервалы знакопостоянства функции.

Определяем знак функции на каждом интервале. Функция положительна везде.

Построим эскиз графика в окрестности каждого корня. Точка 0 – точка минимума, так как с двух её сторон функция положительна. В окрестности -1 функция возрастает, так как везде функция положительна, график расположен над осью .

Далее исследуем поведение функции, когда , .

Далее определяем производную, определяем интервалы знакопостоянства, исследуем критические точки.

Итак, нашли выражение для производной.

Далее, производную приравниваем к нулю:

И находим:

Производная не определена в точке .

Выделяем интервалы знакопостоянства производной (рис. 7).

Рис. 7. Интервалы знакопостоянства производной

На первом интервале производная положительная, на втором – отрицательная, на третье – положительная. Заметим, что - – это точка максимума. Производная при переходе через эту критическую точку меняет знак с + на -. 0 – это точка минимума.

Найдём значение функции в точке - . Подставляем эту точку в саму функцию.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

То есть, при ,функция равна . Мы уточняем поведение кривой и заметим, что в точке -1 производной не существует. Значит касательная здесь вертикальная. Таким образом график функции построен (рис. 8).