Понятие функции, основные определения
Нам известно, что между всеми точками координатной прямой и всеми действительными числами существует взаимооднозначное соответствие. Понятие функции рассматривается именно на множестве действительных чисел.
Рассмотрим пример: поход из дома в школу и возвращение после этого домой. Процесс дом → школа → дом (см. рисунок 1). Ось 
соответствует времени, на оси 
мы будем откладывать расстояние. Представим примерный график рассматриваемого процесса – рисунок 1.
Общим для всех подобных процессов является то, что в конкретный момент времени 
мы находимся на конкретном расстоянии от дома 
, причем на единственном – то есть в один момент времени мы находимся в одном конкретном месте – не можем находиться в двух местах одновременно. Единственность от аргумента к функции является очень важным моментом в определении функции.
Рис. 1. График процесса
Определение
Закон 
, 
, по которому каждому значению независимой переменной (аргументу) ставится в соответствие единственное значение 
называется функцией.
В рассматриваемом примере (рис. 1) аргумент меняется от нуля до 
: 
– область определения функции. Функция изменяется от нуля до 
– область значений функции: 
.
Все явления, встречающиеся в природе, науке, технике и т. д., таковы, что каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
Рассмотрим изменение температуры от лета к зиме и снова к лету (см. рисунок 2):
Рис. 2. График изменения температуры
Мы наблюдаем некоторую периодичность. Вспомним, что с периодичными функциями мы уже встречались. Например, тригонометрические функции.
Кроме того, к свойствам функции относится непрерывность и интервалы знакопостоянства, интервалы возрастания и убывания.
Непрерывность функции: если есть такая точка 
, в которой значение функции положительно – температура положительна, то найдется такая 
окрестность данной точки, в которой функция всё еще будет положительна
, 
Чтобы стать отрицательной функция, в данном случае температура должна пройти через ноль. То есть должен появиться корень функции – такое значение, при подстановке которого в функцию она обращается в ноль.
Поведение функции в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ
Изучим поведение непрерывной функции в окрестности корня.
А) 
Рис. 3. Поведение функции в окрестности корня
– корень функции, по определению функция в этой точке равна нулю. Слева от корня функция была отрицательна, справа от корня стала положительна (см. рисунок 3). Функция возрастает.
Б) 
Рис. 4. Поведение функции в окрестности корня
Слева от корня функция была положительна, справа от корня стала отрицательна (см. рисунок 4). Функция убывает.
В) 
Рис. 5. Поведение функции в окрестности корня
Слева от корня функция была положительна, дошла до нуля и снова справа положительна (см. рисунок 5). Здесь в корне точка минимума.
Г)
Рис. 6. Поведение функции в окрестности корня
Слева от корня функция была отрицательна, дошла до нуля и снова справа отрицательна (см. рисунок 6). Здесь в корне точка максимума.
Изучим поведение функции в окрестностях корня знаменателя:
А) 
; 
– корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс или минус бесконечность. При положительном значении аргумента функция положительна, при отрицательном – отрицательна – см. рисунок 7
Рис.7. Гипербола
Б) 
; – корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс или минус бесконечность. При положительном значении аргумента функция отрицательна, при отрицательном – положительна – см. рисунок 8
Рис. 8. Гипербола
В) 
; – корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс бесконечность. При любом значении аргумента функция положительна – см. рисунок 9
Рис.9. График функции
Г) 
; – корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в минус бесконечность. При любом значении аргумента функция отрицательна см. рисунок 10
Рис. 10. График функции
Интервалы знакопостоянства
Так, непрерывная функция может поменять знак или в корне функции, или в корне знаменателя – то есть в точке разрыва области определения.
Пример
Рассмотрим функцию:
корни функции: 
, 
;
корни знаменателя: 
, 
.
Имеем интервалы знакопостоянства функции: 
; 
; 
; 
; 
. Внутри каждого интервала функция сохраняет знак.
Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью , функция убывает. В точке 
наоборот, функция возрастает (см. рисунок 11).
Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак.
Рис. 11. Эскиз графика функции
Рассмотрим интервалы знакопостоянства каждого множителя, составляющего функцию, и всей функции:
Так, непрерывная в ОДЗ функция имеет интервалы знакопостоянства.
Решение неравенства методом интервалов
Пример
Решить неравенство методом интервалов:
Шаг 1: вводим функцию, которая стоит в левой части, если справа ноль:
шаг 2: определяем интервалы знакопостоянства и знак функции на каждом интервале.
ОДЗ: 
, 
.
Корни: , .
Интервалы знакопостоянства, знаки определены (функция была рассмотрена в предыдущем примере) – см. рисунок 12
Рис. 12. Интервалы знакопостоянства
Шаг 3: вернемся к неравенству, нас интересуют значения, меньшие либо равные нулю.
Ответ:
.
Вывод
Итак, мы рассмотрели определение функции и метод интервалов при решении неравенств. На следующем уроке рассмотрим построение эскиза графика функции.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2011.
4. Алимов А.Ш. Алгебра и начала математического анализа. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Математический форум Math Help Planet (Источник)
2. Интернет-сайт gimn7matem.narod.ru (Источник)
3. Интернет-сайт ege-study.ru (Источник)
Домашнее задание
Задание 1: указать интервалы знакопостоянства функций и знаки на каждом интервале:
А) 
Б) 
В) 
Задание 2: построить в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ графики функций:
А) 
Б) 
В) 
