Функция y=ctgt, ее свойства
Сначала напомним, каким образом получается функция 
, то есть напомним тот закон, согласно которому каждому допустимому 
ставится в соответствие единственное значение 
.
Пусть t – любое число, для простоты пусть положительное: 
.
Рассмотрим единичную окружность (рис. 1), которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка 
, от нее откладываем против часовой стрелки значение . Получаем дугу 
. Итак, если задано конкретное число , то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом – 
; вторую координату назвали синусом – 
. Итак, имеем:
.
Рис. 1. Единичная окружность
Отношение этих двух координат и есть котангенс:
.
График функции y=ctgt, графическое решение простейших уравнений
Таким образом, каждому значению ставится в соответствие единственным образом число 
, то есть задана функция 
.
Напомним, что ось котангенсов – это касательная к окружности в точке пересечения окружности с осью ординат.
Рассмотрим основные свойства функции 
.
1. Область определения: котангенс – это дробь, значит, необходимо ввести ограничение на знаменатель: 
;
2. Область значений: 
;
3. Наименьший положительный период функции: 
. Это дает нам следующее следствие: 
для любого допустимого ;
4. Функция нечетная: 
.
Сформулируем алгоритм нахождения котангенса по единичной окружности.
1. Отложить от точки А на окружности, соответствующей углу в ноль градусов, дугу в t градусов;
2. Получить точку М на окружности;
3. Провести луч из начала координат через точку М и получить точку пересечения луча с осью котангенсов;
4. Абсцисса точки пересечения и будет искомым котангенсом.
Рассмотрим график функции (рисунок 2).
График функции убывает от плюс бесконечности до минус бесконечности на промежутке 
, и так на каждом периоде.
Решим уравнение:
.
Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.
Рис. 2. График функции 
Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так, 
и т. д.
Запишем множество решений:
.
Функция у=сtgt на интервале (0; π), важнейшие значения функции
Рассмотрим график функции 
(рис. 3).
На данном промежутке функция монотонно убывает от плюс бесконечности до минус бесконечности и пробегает все свои значения.
Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:
Рис. 3. График функции
Чтобы легче было запомнить значение котангенсов, можно вспомнить, что котангенс – это отношение катетов прямоугольного треугольника. Так, при угле 
оба острых угла прямоугольного треугольника равны, треугольник равнобедренный и имеет равные катеты, значит, их отношение равно единице.
Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение. То есть, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, оно и называется арккотангенсом и является решением обратной задачи.
Понятие арккотангенса, определение арккотангенса по тригонометрической окружности
Определение
Арккотангенсом числа 
называется такое число 
, лежащее в пределах от нуля до пи, котангенс которого равен :
э
Свойство арккотангенса: 
; 
.
Например: 
.
Теперь напомним, как можно находить значения арккотангенсов с помощью тригонометрической окружности и линии котангенсов (рис. 4).
Рис. 4. Определение арккотангенса по тригонометрической окружности
Например, чтобы найти 
ищем значение 
на оси котангенсов и находим соответствующую ему точку на окружности: 
. Аналогично, 
Решение тригонометрических уравнений
Арккотангенсы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.
Пример 1 – решить уравнение:
.
Задано простейшее тригонометрическое уравнение с котангенсом, все остальные уравнения сводятся к данному виду. Рассмотрим тригонометрический круг (рис. 5).
На оси котангенсов выбираем число , строим угол и получаем две точки на единичной окружности: 
. Имеем множества значений , которые проектируются в точку . Чтобы найти эти множества, вспомним, что арккотангенс лежит в пределах 
. Так, 
.
Полученные множества можно объединить в одно:
.
Рис. 5. Решение примера
Пример 2 – решить уравнение:
.
Очевидна замена переменных:
.
Имеем:
.
Находим корни квадратного уравнения любым способом, получаем:
.
Вернемся к исходным переменным:
Ответ: 
.
Итак, мы рассмотрели функцию 
и число 
, решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее приступим к повторению производной.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание
- Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности:
а)
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
. - Построить график функции:
а)
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
