Функция y = sin t и число arcsin a

Тема: Повторение

Урок: Функция y= sin(t) и число arcsin(a)  

1. Функция y = sin(t) и ее свойства

Функция , как и любая другая функция, – это закон, по которому каждому значению аргумента, в данном случае , ставится в соответствие единственное значение функции – . Рассмотрим, каким же образом значению  поставить в соответствие значение Рассмотрим единичную окружность, которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка , от нее откладываем против часовой стрелки значение  , получаем дугу  , значение  откладываем против часовой стрелки и получаем точку  и дугу . Итак, если задано конкретное число , то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом – ; вторую координату назвали синусом – . Итак, имеем:

Рис. 1. Единичная окружность

Таким образом, каждому значению  ставится в соответствие единственным образом число .

Рассмотрим основные свойства функции :

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Наименьший положительный период функции: . Это дает нам следующее следствие:  для любого ;

4. Функция нечетная: ;

Отметим, что каждому значению  соответствует единственная точка М на окружности: . При этом каждой точке М соответствует множество значений  таких, что: .

2. График функции y = sin(t), графическое решение простейших уравнений 

Графиком функции  является синусоида (рис. 2). График функции сначала возрастает от нуля до единицы, потом убывает до минус единицы и снова возрастает до единицы, и так далее. Решим уравнение:. Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.

 

Рис. 2. Синусоида

Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так,  и т. д.

Запишем множество решений:

3. Функция у = sin t  на интервале [-π/2;π/2], важнейшие значения функции  

Рассмотрим график функции

На данном промежутке функция монотонно возрастает от минус единицы до плюс единицы и пробегает все свои значения.

Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:

Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение.

Рис. 3. График функции

4. Понятие арксинуса, определение арксинуса по тригонометрической окружности 

Арксинусом числа  называется такое число , лежащее в пределах от минус до плюс пи пополам, синус которого равен :

Свойством арксинуса является нечетность: ;

Например: ;

 

5.  Решение простейшего тригонометрического уравнения

Теперь напомним, как можно находить значения арксинусов с помощью тригонометрической окружности.

Рис. 4. Определение арксинуса по тригонометрической окружности

Например, чтобы найти , ищем значение  на оси  и находим соответствующую ему точку на окружности: . Аналогично

Арксинусы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.

Пример 1: решить уравнение:

Задано простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, все остальные уравнения сводятся к данному виду.

Рассмотрим тригонометрический круг:

Ось  соответствует линии синусов, на ней выбираем число , строим перпендикуляр и получаем две точки на единичной окружности – . Имеем множества значений , которые проектируются в точку . Чтобы найти эти множества, вспомним, что арксинус лежит в пределах . Так, 

Полученные множества можно объединить в одно:

 

 

 

 

 

 

Рис. 5. Решение примера

 

 

6. Частные случаи уравнений с синусом

Рассмотрим важные частные случаи.

1.  

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии синусов со значением ноль проходит по оси  , и данное значение достигается в двух семействах точек –  и . Так, имеем общее решение:

 (Рис. 6)

 

 

 

 

 

 

Рис. 6. Частный случай простейшего уравнения с синусом

2. 

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии синусов со значением единицы проходит в верхней точке окружности, и данное значение достигается в семействе точек . Так, имеем решение:

 (Рис. 7)

 

 

 

 

 

 

Рис. 7. Частный случай простейшего уравнения с синусом

3.

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии синусов со значением минус единицы проходит в нижней точке окружности, и данное значение достигается в семействе точек . Так, имеем решение:

 (Рис. 8)

 

 

 

 

 

 

Рис. 8. Частный случай простейшего уравнения с синусом

Итак, мы рассмотрели функцию  и число , решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее рассмотрим функцию  и число .

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nado5.ru (Источник).
2. Интернет-репетитор (Источник).
3. Старая школа (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

2. Построить график функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;