Показательные функции, уравнения, неравенства

Тема: Повторение

Урок: Показательные функции, уравнения, неравенства

1. Показательная функция, определение, свойства

Функцию вида , где  и  называют показательной функцией. Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция; основание степени а – конкретное число.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Основные свойства данного семейства функций:

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции ();

4.  , все графики проходят через точку (0;1);

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Свойства данного семейства функций:

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ();

4. , все графики проходят через точку (0;1);

2. Простейшие показательные уравнения, техника решения, примеры 

Свойства показательной функции лежат в основе решения показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим показательные уравнения:

Из равенства степеней следует равенство показателей в силу монотонности показательной функции.

Таким образом, методику решения показательных уравнений в общем виде можно представить следующим образом:

1. Уравнять основания степеней;

2. Приравнять показатели степеней;

3. Решить полученное уравнение;

Например:

3. Простейшие показательные неравенства, техника решения, примеры  

Рассмотрим методику решения показательных неравенств. Все они в большинстве случаев сводятся к такому типу:

Методика решения подобных неравенств основана на монотонном возрастании показательной функции, когда основание степени больше единицы:

1. Уравнять основания степеней;

2. Сравнить показатели, сохранив знак неравенства;

3. Решить полученное неравенство;

или

Методика решения подобных неравенств основана на монотонном убывании показательной функции, когда основание степени лежит в пределах от нуля до единицы:

1. Уравнять основания степеней;

2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства;

3. Решить полученное неравенство;

Например:

4. Решение более сложного показательного неравенства 

Пример 1 – решить показательное неравенство:

Преобразуем, пользуясь свойствами степени:

Выполним замену переменных:

Так, имеем квадратное неравенство:

Находим корни квадратичной функции:

Так, решение квадратного неравенства находится внутри интервала корней, имеем:

Вернемся к исходным переменным:

Ответ:

Теперь рассмотрим случаи, когда основание степени – переменная величина, то есть а зависит от х:

Нам предстоит решать неравенства вида:

Необходимо рассматривать два случая:

Обратим внимание, что нужно еще рассмотреть третий случай:

Рассмотрим другой способ решения показательно-степенного неравенства:

Имеем систему:

Распишем ее:

Напомним важный опорный факт:

На основании опорного факта можно переписать систему так:

Второй способ решения более эффективен, так как в первом необходимо решать две системы и объединять решения, а во втором решаем только одну систему, причем первое ее неравенство уже разложено на множители, и его удобно решать методом интервалов.

5. Решение степенно-показательного неравенства, техника, пример

Пример 2: решить показательное неравенство:

Решим неравенство двумя способами, сначала с помощью совокупности систем:

Переходим к эквивалентной системе, сначала представим левую часть в виде степени с тем же основанием:

Запишем эквивалентную совокупность:

Теперь запишем эквивалентную систему:

Решаем первое неравенство методом интервалов:

Рис. 3. Решение неравенства методом интервалов

Так, учитывая второе неравенство, имеем ответ:

Итак, мы рассмотрели показательную функцию и ее свойства, показательные уравнения и неравенства, привели схемы решения и решили примеры. Далее будем рассматривать обратную функцию.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика-повторение (Источник).
2. Math.md (Источник).
3. Math.md (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;