Тема: Повторение
Урок: Производная
1. Определение и смысл производной
Сначала вспомним определение и смысл производной. Для этого рассмотрим функцию 
и ее график, дадим физическую интерпретацию.
По оси 
откладываем время, по оси 
– расстояние. Функция 
– закон изменения расстояния в зависимости от времени.
Рис. 1. Физический смысл производной
В момент 
расстояние равно 
. Через время 
в момент времени 
расстояние равно 
. За время расстояние изменилось на 
. Отношение к – это средняя скорость за время :
С геометрической точки зрения данное отношение – это тангенс угла наклона секущей АВ. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой АВ, катетами и тангенс острого угла 
равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету :
Предположим, что стремится к нулю. Тогда тоже стремится к нулю, и секущая АВ стремится занять положение касательной (рисунок 15.2).
Вернемся к отношению 
. Если оно стремится к какому-то конкретному числу, то это число и называется производной функции в точке :
Более строго производной функции в точке называется предел отношения при , стремящемся к нулю:
Рис. 2. Секущая и касательная к графику функции
Физический смысл производной: производная – это мгновенная скорость в момент .
Геометрический смысл: производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .
2. Таблица производных, производная сложной функции, примеры
Далее требуется вспомнить технику дифференцирования – нахождения производных для различных функций. Рассмотрим на примерах.
1. 
, здесь С – постоянное число: производная от константы равна нулю. С физической точки зрения это очевидно: если расстояние постоянно, то есть мы находимся на одном и том же месте, например, в школе или на работе, никакой скорости нет, производная равна нулю;
2. Линейная функция: 
, например 
;
3. Степенная функция: 
; производная сложной степенной функции: 
; важный частный случай: 
; например: 
4. Тригонометрические функции:
a) Синус:
b) Косинус:
c) Тангенс:
d) Котангенс:
Например: 
5. Показательная функция: 
Например: 
6. Логарифмическая функция: 
Например: 
3. Построение графика функции с помощью производной
Пример 1: построить график функции:
Действуем по стандартной методике. Сначала исследуем функцию и строим эскиз графика, не применяя производную.
ОДЗ: 
Корни: чтобы найти корни функции, необходимо выражение приравнять к нулю – имеем произведение, равное нулю: 
. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует, т. е. соблюдена ОДЗ. Имеем: 
, оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Имеем два интервала знакопостоянства: на крайнем правом (
) функция имеет знак плюс, далее знак меняется, так как все корни имеют первую степень. Так, на интервале 
функция отрицательна.
Опишем эскиз графика в окрестностях корней. Имеем: поскольку в точке 
знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х. Слева от точки 
функция имеет знак плюс, кривая расположена над осью и обрывается при 
.
Теперь опишем эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится в данном случае к минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
Так, если х стремится к бесконечности с минусом, у тоже стремится к бесконечности с минусом.
Уточним поведение функции с помощью производной.
Приравниваем производную к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем: 
. Так, когда 
производная положительна, функция возрастает. Когда 
производная отрицательна, функция убывает. Точка 
– критическая точка, точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Имеем: 
Проиллюстрируем:
Рис. 3. График функции 
Прочтем полученный график: когда аргумент возрастает от минус бесконечности до четырех третьих, функция возрастает от минус бесконечности до 
. Когда аргумент возрастает от четырех третьих до двух, функция убывает от до нуля. В точке производная функции не существует, касательной к графику является вертикальная прямая.
4. Решение задачи с параметром
Пример 2: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
:
а) имеет хотя бы одно решение;
б) имеет ровно одно решение;
Согласно стандартной методике, сначала необходимо рассмотреть функцию, стоящую в левой части, и построить ее график. Это уже было выполнено в предыдущем примере (рисунок 15.3). Далее требуется рассечь график семейством прямых 
, найти точки пересечения и выписать ответ. Выполним рассечение:
Рис. 4. Рассечение графика семейством прямых
Очевиден ответ:
а) при 
уравнение имеет хотя бы одно решение;
б) при 
уравнение имеет единственное решение;
Итак, мы повторили важную тему нахождения производной, рассмотрели таблицу производных основных функций, производные сложных функций. Решили некоторые примеры, связанные с производными. Далее перейдем к исследованию функций.
Список рекомендованной литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Рекомендованное домашнее задание
- Найти производную функции:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
; д) 
;
е) 
;
- Построить график функции:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
- Найти значения параметра, при которых уравнение не имеет решений:
