Сначала вспомним определение и смысл производной. Для этого рассмотрим функцию и ее график, дадим физическую интерпретацию.

По оси откладываем время, по оси – расстояние. Функция – закон изменения расстояния в зависимости от времени.

Рис. 1. Физический смысл производной

В момент расстояние равно . Через время в момент времени расстояние равно . За время расстояние изменилось на . Отношение к – это средняя скорость за время :

С геометрической точки зрения данное отношение – это тангенс угла наклона секущей АВ. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой АВ, катетами и тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету :

Предположим, что стремится к нулю. Тогда тоже стремится к нулю, и секущая АВ стремится занять положение касательной (рисунок 15.2).

Вернемся к отношению . Если оно стремится к какому-то конкретному числу, то это число и называется производной функции в точке :

Более строго производной функции в точке называется предел отношения при , стремящемся к нулю:

Рис. 2. Секущая и касательная к графику функции

Физический смысл производной: производная – это мгновенная скорость в момент .

Геометрический смысл: производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .