Пример

Дано:.

Задача: найти обратную функцию и построить график.

Данная показательная функция монотонно возрастает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно возрастать.

Сначала решим уравнение относительно : , .

Выполним переобозначение: .

Построим графики (см. рисунок 5):

Рис. 5. График функции и обратной ей функции

Видим, что обе функции монотонно возрастают.

Более сложные задачи

Пример

Получить обратную функцию для

График заданной функции (см. рисунок 6):

Рис. 6. График функции

Выбранный отрезок рассматривается потому, что на нем функция монотонна, а именно монотонно возрастает, кроме того, пробегает все свои возможные значения.

Чтобы получить обратную функцию, выразим через :

Выполним переобозначение (см. рисунок 7):

,

Рис. 7. Графики прямой и обратной функций

Отметим, что периодическая немонотонная функция, для нее не существует обратной функции. Но, вместе с тем, она кусочно-монотонная, и на отрезке, где она монотонна, существует обратная функция – ее мы нашли и построили.

Пример

Получить обратную функцию для .

Отметим, что заданная функция не монотонна на естественной области определения, но она кусочно-монотонная. Рассматриваем отрезок , здесь функция монотонна и пробегает все свои значения.

Так как функция монотонна, существует обратная функция. Выразим через :

Выполним переобозначение:

Выполним построение (см. рисунок 8):

Рис. 8. Графики прямой и обратной функции

Видим, что обе функции монотонно возрастают.