1. Функция y=(√x)n при четных n, свойства в общем и частных случаях
Начнем с повторения функций 
для четного n, т. е. функций 
и т. д. Рис. 1.
Рис. 1. График функции при четных n
Важно, что любая из этих кривых проходит через две точки: (0;0) и (1;1).
Когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, то и функция возрастает от нуля до плюс бесконечности.
Свойства данных функций:
1. Область определения: 
;
2. Область значений: 
;
3. Функция возрастает на луче 
;
4. Функция проходит через точки (0;0), (1;1) при любом n.
Изучаемые функции имеют много общих свойств, но каждая из них единственна и неповторима. Для примера рассмотрим взаимное расположение двух кривых: 
. Рис. 2.
Пока х изменяется от нуля до единицы, кривая 
находится над кривой 
, в точке (1;1) кривые пересекаются и далее меняют свое расположение, когда х меняется от единицы до плюс бесконечности, кривая находится над кривой .
Описанное расположение можно описать так:
Пример 1:
но
Пример 2:
но
Рис. 2. Взаимное расположение графиков функций
2. Функция y=(√x)n при нечетных n, свойства в общем и частных случаях
Перейдем к функциям для нечетного n, т. е. функциям 
и т. д., причем в данном случае 
и 
. Рис. 3.
Рис. 3. График функции для нечетного n,
Если аргумент меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, функция возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Основные свойства рассматриваемых функций:
1. Область определения: 
;
2. Область значений: 
;
3. Графики функций проходят через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)
4. Функции нечетные, графики симметричны относительно начала координат;
5. Функции возрастают от минус до плюс бесконечности.
Рассмотрим взаимное расположение двух кривых: 
. Рис. 4.
Рис. 4. Взаимное расположение графиков функций
На участке 
кривая 
находится выше кривой 
, однако когда 
кривые располагаются наоборот, расположена выше :
3. Решение типовых задач
Пример 3 – решить неравенство:
Чтобы найти решение неравенства, нужно узнать знак числа, стоящего в скобках. Поскольку значение синуса любого угла меньше единицы, разность в скобках будет иметь знак минус. Исходя из этого, получаем решение неравенства: 
.
Рассмотрим одну из типовых задач для функции для четного n.
Пример 4: найдите область значений функции 
на интервале 
.
Решение основывается на свойстве данной функции, а именно ее монотонном возрастании. Найдем значения в границах интервала:
Таким образом, получаем ответ: 
.
Аналогичная задача существует для функции при нечетном n.
Пример 5: найдите область значений функции на интервале 
Данная функция также имеет свойство монотонно возрастать при возрастании аргумента.
Аналогично предыдущему примеру найдем значения функции в граничных точках и получим ответ.
Таким образом, получаем ответ: 
.
Подобные задачи допускают различные формулировки, рассмотрим одну из них.
Пример 6: найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале 
.
Ответ очевиден: наименьшего значения функция достигает при наименьшем значении аргумента, т. е. 
, наибольшее значение соответствует наибольшему значению х, но наш интервал заканчивается круглой скобкой, поэтому наибольшего х, а значит, и наибольшего у, не существует.
Пример 7: решить уравнение графически.
Разбиваем заданное уравнение на две функции:
Свойства данных функций нам известны, первая монотонно возрастает и обязательно проходит через три известные нам точки, вторая монотонно убывает, поэтому если данная система имеет решение, то оно единственное.
Построим заданные функции:
Рис. 5. Графики функций и 
Очевидно, что решением системы является точка с координатами (1;1). Выполним проверку:
Таким образом, получили корень уравнения: 
.
Пример 8: найдите область определения функции.
Мы помним, что под корнем четной степени должно стоять только положительное выражение, в то время как на корень нечетной степени никаких ограничений не накладывается. Получаем неравенство:
Умножим неравенство на минус единицу, получим:
Получили неравенство в стандартном виде, выпишем и поясним его решения:
Рис. 6. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства
Таким образом, получили ответ: 
.
Пример 9: найти наибольшее значение функции.
Помним, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное число:
Рис. 7. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства
Определим, в каких пределах изменяется подкоренное выражение 
. Несложно найти, что оно принадлежит интервалу [0;1].
Рассмотрим функцию 
. Данная функция монотонно возрастает, поэтому своего максимума достигнет при максимальном значении х, т. е. получаем:
.
Пример 10: построить график и найти область значений функции.
Рис. 8. Графики функций, пример 10
Первая функция 
при 
убывает от двух до нуля. Вторая функция 
при 
возрастает от нуля до единицы.
Итак, если аргумент меняется в заданных пределах 
, функция принимает значения на интервале от нуля до двух, таким образом, получаем ответ: область значений функции 
.
Свойства функции лежат в основе решения различных задач с параметром, рассмотрим одну из них.
Пример 11: найти число корней уравнения с параметром.
Причем
Напомним, что решение задачи с параметром подразумевает перебрать все возможные значения параметра и для каждого из них указать ответ.
Для решения подобных задач можно применять следующий алгоритм:
1. Построить график функций;
График уже был построен в предыдущем примере, см. рисунок 8.
2. Рассечь график семейством прямых 
, найти точки пересечения и выписать ответ;
Выполним рассечение:
Рис. 9. Рассечение графика прямыми вида
Исходя из рисунка 9, выпишем ответ:
Уравнение не имеет корней при: 
Уравнение имеет единственный корень при: 
.
Уравнение имеет два корня при: 
.
Итак, мы повторили свойства функций для всех значений n, построили графики и исследовали их. Кроме того, мы научились решать разнообразные типовые задачи, пользуясь свойствами изучаемых функций. На следующем уроке мы рассмотрим свойства корня n-й степени из неотрицательного числа.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 425 (выполнить решение графически)
2. Найти минимальное значение функции:
а) 
; б) 
; в) 
3. Найти количество решений уравнения с параметром , если
