1. Определение и свойства степени с натуральным показателем
Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.
– степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени;
n штук
Кроме того, напомним, что:
и 
;
Выражение 
не существует.
Основные свойства степеней:
1. 
;
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.
2. 
;
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;
3. 
;
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
4. 
;
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;
5. 
;
2. Основные числовые множества, числовой ряд
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;
Напомним основные числовые множества:
– натуральные числа;
– целые числа;
– рациональные числа;
Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби 
, назвали иррациональными, например 
. Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел
– действительные числа;
Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число , то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.
Рис. 1. Числовая ось
3. Степень с положительным рациональным показателем, примеры
Определение:
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем 
называется число 
Например: 
Пример 1 – вычислить:
Пример 2 – вычислить:
Пример 3 – вычислить:
Пример 4 – представить в виде степени:
Пример 5 – представить в виде степени:
Пример 6 – представить в виде степени:
Пример 7 – представить в виде степени:
4. Степень с отрицательным рациональным показателем, примеры
Определение:
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем 
называется число 
.
Например: 
Пример 8 – вычислить:
Пример 9 – вычислить:
Пример 10 – вычислить:
5. Типовые ошибки и важные факты
Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:
Ответ: не существует
Пояснение:
– выражение 1;
Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:
– выражение 2;
Из выражений 1 и 2 получили 
, неверное числовое равенство.
Запомним:
определено только при 
.
6. Типовые задачи на область определения функции
Пример 11 – построить графики функций:
График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), область определения 
.
График второй функции по определению соответствует графику функции 
при .
Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.
Рис. 2. График функции 
Рис. 3. График функции 
Пример 12 – найти область определения выражения:
По определению положительного рационального показателя степени:
По определению отрицательного рационального показателя степени:
По определению положительного рационального показателя степени:
По определению отрицательного рационального показателя степени:
Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения. На следующем уроке мы рассмотрим свойства таких степеней.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 430, 431, 436, 437;
2. Вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
3. Вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
