Понятие корня n-ой степени из действительного числа

Понятие и определение квадратного корня из натурального числа

Мы довольно долго не знали, что такое корень n-ой степени из действительного числа, и умели обходиться без этого понятия, но потом появились случаи, в которых обойтись без него уже невозможно.

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1:

Решение:

Способ 1, аналитический. Перенесем все члены в левую часть уравнения так, чтобы справа остался : . Далее разложим на множители: .

Каждый множитель приравниваем к нулю:

Получаем ответ:

Способ 2, графический. Построим кривую  и прямую  (рис. 1). Получим  и  в точках пересечения графиков.

Рис. 1. График уравнений  и

Ответ. , .

Для решения этой задачи нам не потребовалось никаких новых методов.

Пример 2:

Решение:

Способ 1. . Разложим на множители: . Каждый множитель приравниваем к нулю:

Получаем ответ:

Способ 2, графический. Построим график для системы (рис. 2), где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая ():

Ответами будут точки пересечения графиков, т. е.  и .

Рис. 2. График уравнений  и

Ответ: , .

После решения двух задач нужды в новом слове не обнаружено.

Пример 3: x²=3

Решение:

Способ 1, аналитический. . Пытаемся разложить на множители, но ничего не выходит. Попробуем другой способ.

Способ 2, графический. Построим график для системы (рис. 3), где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая ():

Рис. 3. График уравнений  и

Видим, что графики пересекаются, а значит, ответы все же есть. Назовем их корень квадратный из 3 и минус корень квадратный из 3:

Ответ: ,

Определение:

Квадратный корень из трех – это иррациональное число, приближенное к десятичной дроби (). Так как , в дальнейшем будем считать его арифметическим корнем.

Теперь нам нужно определить корень n-ой степени из действительного числа.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4: , где ,

Рис. 4. График функций  и

Уравнение имеет 2 корня:   и .

Понятие и определение корня четной степени из неотрицательного числа

Определение:

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

Т. е. если  , то . Из этого следует тождество .

Напомним, что у любой функции, в том числе и у данной, есть 2 задачи: прямая (по данному х найти у) и обратная (по данному у, в данном случае равному а, найти х). Если значение а положительное и n четное, то значение у достигается при двух значениях аргумента – положительном и отрицательном. Положительное значение аргумента называется корнем n-ной степени из а, или арифметическим корнем n-ной степени из а.

Перейдем к нечетным степеням. Начнем с .

Рис. 5. График функции , где

Свойства функции  (рис. 5) отличаются от предыдущих. Напомним, что функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат; она принимает все значения от  до , а значит, любое свое значение у принимает при единственном значении х. Например, ; ; ; ; . По графику функции (рис. 5) находим решения.

Итак, уравнение  имеет единственный корень. Если этот корень неотрицательный, он называется арифметическим корнем, в противном случае – минус арифметическим корнем.

Если n – любое нечетное число, график функции  имеет тот же вид и те же свойства, что и : функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, область значений от  до , любое значение, в том числе и отрицательное, функция принимает при единственном значении аргумента.

Понятие и определение корня нечетной степени из отрицательного числа

Определение:

Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при  называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а. Например, т. к. ;    т. к. ;    т. к.

Понятие корня n-ой степени из действительного числа позволяет уверенно решать степенные уравнения.

Решение примеров

Пример 5: решить уравнение ;

Решение.  т. к. степень функции четная (рис. 6)

Ответ. .

Рис. 6. График функций  и

Пример 6:решить уравнение ;

Решение.  т. к. степень функции нечетная (рис. 7);

Ответ. .

Рис. 7. Функции  и

Доказательство иррациональности числа

В заключение повторим доказательство того, что  – иррациональное число. Используем метод от противного. Предположим, что , где  – несократимая дробь (такая как  или ). Тогда . Обе части выражения – неотрицательные числа. Возведем их в квадрат: . Правая часть уравнения делится на 2, а значит, и левая часть уравнения (т. е. m) тоже обязательно должна делиться на 2, a  – на 4. Тогда  тоже делится на 4, а n – на 2. Из этого следует, что дробь не является несократимой, ее числитель и знаменатель делятся на 2. А это противоречит нашему предположению. Следовательно, – иррациональное число.

 

На данном уроке мы узнали, что такое корень n-ной степени из действительного числа, и научились использовать его на практике.

         

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Terver.ru (Источник).
2. Uztest.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение: № 383, 385, 389, 394, 396, 404.
2. Решите уравнение: а) , б) , в) .
3. Вычислите: а)  б) .