Мы довольно долго не знали, что такое корень n-ой степени из действительного числа, и умели обходиться без этого понятия, но потом появились случаи, в которых обойтись без него уже невозможно.

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1:

Решение:

Способ 1, аналитический. Перенесем все члены в левую часть уравнения так, чтобы справа остался : . Далее разложим на множители: .

Каждый множитель приравниваем к нулю:

Получаем ответ:

Способ 2, графический. Построим кривую и прямую (рис. 1). Получим и в точках пересечения графиков.

Рис. 1. График уравнений и

Ответ. , .

Для решения этой задачи нам не потребовалось никаких новых методов.

Пример 2:

Решение:

Способ 1. . Разложим на множители: . Каждый множитель приравниваем к нулю:

Получаем ответ:

Способ 2, графический. Построим график для системы (рис. 2), где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая ():

Ответами будут точки пересечения графиков, т. е. и .

Рис. 2. График уравнений и

Ответ: , .

После решения двух задач нужды в новом слове не обнаружено.

Пример 3: x²=3

Решение:

Способ 1, аналитический. . Пытаемся разложить на множители, но ничего не выходит. Попробуем другой способ.

Способ 2, графический. Построим график для системы (рис. 3), где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая ():

Рис. 3. График уравнений и

Видим, что графики пересекаются, а значит, ответы все же есть. Назовем их корень квадратный из 3 и минус корень квадратный из 3:

Ответ: ,

Определение:

Квадратный корень из трех – это иррациональное число, приближенное к десятичной дроби (). Так как , в дальнейшем будем считать его арифметическим корнем.

Теперь нам нужно определить корень n-ой степени из действительного числа.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4: , где ,

Рис. 4. График функций и

Уравнение имеет 2 корня: и .