1. Повторение определений и свойств
Напомним основные определения.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
Итак, в рассмотренном случае под корнем стоит строго неотрицательное число, но существует также корень из отрицательного числа – это корень нечетной степени, он существует для любых чисел.
Например: 
, т.к. 
, 
Напомним свойства корней n-й степени, которыми мы будем пользоваться при всех преобразованиях:
при 
, при 
(теорема 1);
, при 
(теорема 2);
, при 
(теорема 3);
, при 
(теорема 4);
при 
(теорема 5).
Все дальнейшие преобразования и вычисления базируются на определении и свойствах корня n-й степени.
Пример 1 – вычислить:
Разложим подкоренное выражение на более удобные множители и после этого извлечем корень:
Пример 2 – упростить выражение:
Пример 3 – упростить выражение:
2. Типовые ошибки и важные соотношения
Чтобы избежать распространенных типовых ошибок, обратим внимание на некоторые моменты.
Верно ли, что:
при 
Неверно, т. к., например, при 
получаем неверное числовое равенство 
.
при
Неверно, т. к., например, при 
получаем неверное числовое равенство 
.
В данном случае верна формула:
:
Приведенная формула справедлива для любого четного показателя степени.
Для нечетного показателя степени имеем следующую формулу:
Приведем еще одну важную формулу:
3. Вынесение множителя из под знака корня, примеры
Перейдем к рассмотрению типовых задач. Первый тип задач – вынесение множителя из-под знака корня.
Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
Пример 7:
Комментарий: поскольку а стоит под квадратным корнем в нечетной степени, то данная переменная неотрицательна, имеем право снять с нее модуль.
Пример 8:
Пример 9:
4. Внесение множителя под знак корня, примеры
Следующий тип задач – внесение множителя под знак корня.
Пример 10:
Пример 11:
Пример 12:
Пример 13:
Пример 14:
5. Решение элементарных уравнений
Перейдем к решению уравнений.
Пример 15:
Мы знаем, что:
Согласно условию 
Имеем:
, отсюда 
Ответ: 
Пример 16:
Мы знаем, что:
Согласно условию 
Имеем:
, отсюда 
Ответ: 
Пример 17:
Очевидно, что в данном случае t может принимать любые значения.
Ответ: 
Пример 18:
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели элементарные преобразования выражений, содержащих радикалы. На следующем уроке мы продолжим изучение данной темы.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын), 1990, № 413, 414;
2. Упростите выражение:
а) 
; б) 
; в) 
; г)
3. Упростите выражение:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
