Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения

Основные определения

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Для  выполняется равенство:

.

Например:

Определение

Функция с рациональным показателем – это функция вида , где . Основание степени х – аргумент данной функции, независимая переменная; у – сама функция, зависимая переменная.  – показатель степени, фиксированное рациональное число.

Например:  и т. д.

Функции с натуральным показателем

Вспомним частные случаи, например, когда показатель степени – натуральное число.

: (рис. 1)

Рис. 1. График функции

Показатель степени – четное натуральное число, : (рис. 2)

Рис. 2. График функции

Данное семейство кривых проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1), (-1;1).

Основное свойство этих функций – четность, их графики симметричны относительно оси ОУ.

Показатель степени – четное натуральное число, : (рис. 3)

Рис. 3. График функции

Данное семейство кривых проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1), (-1;-1);

Основное свойство этих функций – нечетность, их графики симметричны относительно начала координат.

Функции с целым отрицательным показателем

Рассмотрим случаи, когда показатель степени – целое отрицательное число.

При : (рис. 4)

Рис. 4. График функции

График данной функции проходит через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1).

При четных n, : (рис. 5)

Рис. 5. График функции

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида – их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.

При нечетных n, : (рис. 6)

Рис. 6. График функции

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида – их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

Функция с рациональным положительным показателем, меньшим единицы, ее свойства

Переходим к функциям с рациональным показателям, , рассмотрим случаи, когда показатель степени меньше единицы: .

Например: , .

Итак, мы рассматриваем функции .

Рис. 7. График функции

Все кривые данного вида проходят через две фиксированные точки: (0;0), (1;1).

Рассмотрим основные свойства функции с рациональным показателем, когда он лежит в пределах от нуля до единицы.

Рассмотрим подкоренное выражение:

Данная функция монотонно возрастает на своей области определения.

Рассмотрим следующую функцию:

Данная функция также монотонно возрастает на своей области определения.

Таким образом, изучаемая функция монотонно возрастает.

Область определения рассматриваемой функции: .

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, максимального значения нет, минимальное достигается при : .

Функция непрерывна, принимает все неотрицательные значения.

Функция выпукла вверх.

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится выше отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вверх (рис. 8).

Рис. 8. Выпуклость функции

Функция с рациональным положительным показателем, большим единицы, ее свойства

Перейдем к случаям, когда рациональный показатель функции больше единицы.

.

Например:

, данная функция монотонно возрастает на своей области определения, т. к. оба сомножителя возрастают и положительны.

Чтобы понять, как проходит график данной функции, построим таблицу.

х	0		1	4
у	0		1	8

Рис. 9. График функции

Графики данных функций проходят через две фиксированные точки – (2;0), (1;1).

Рассмотрим свойства функций .

Область определения: .

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, максимального значения нет, минимальное достигается при : .

Функция непрерывна, принимает все неотрицательные значения.

Функция выпукла вниз.

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз (рис. 10).

Рис. 10. Выпуклость функции.

Рассмотрим пример на свойства степенной функции с рациональным положительным показателем.

Решение примера

Пример 1 – найти множество значений функции:

.

Поскольку функция, как нам известно, монотонно возрастает, вычислим значения в граничных точках, и интервал значений между ними и будет искомое множество значений.

.

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели степенную функцию с положительным рациональным показателем. На следующем уроке мы продолжим изучение степенных функций.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

1. Постройте графики функций:
2. Известно, что . Вычислить:.
3. Исследуйте функцию на четность:

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Глав Справ (Источник).
3. Прикладная математика (Источник).