При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.

Определение:

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например, , т. к. ; , т. к. ;

Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: .

Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.

Рассмотрим функцию на множестве всех действительных значений. Рис. 1.

Рис. 1. График функции

Значение функция принимает при двух различных значениях аргумента: . Другими словами, уравнение имеет два решения, положительное и отрицательное, – неотрицательное значение – носит название арифметического корня.

Рассмотрим функцию на множестве . Рис. 2.

Рис. 2. График функции на множестве

Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента . Система

имеет единственное решение .