1. Определение корня n-й степени, понятие арифметического корня
При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, 
, т. к. 
; 
, т. к. 
;
Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: 
.
Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.
Рассмотрим функцию 
на множестве всех действительных значений. Рис. 1.
Рис. 1. График функции
Значение 
функция принимает при двух различных значениях аргумента: 
. Другими словами, уравнение 
имеет два решения, положительное и отрицательное, 
– неотрицательное значение – носит название арифметического корня.
Рассмотрим функцию на множестве 
. Рис. 2.
Рис. 2. График функции на множестве
Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента 
. Система
имеет единственное решение .
2. Теорема о корне из произведения, доказательство, примеры
Корень n-й степени (n=2, 3, 4…) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел.
Дано:
Доказать: 
Доказательство:
Обозначим исходные выражения через х, у и z:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как все выражения неотрицательные и возводятся в натуральную степень, имеем право записать:
Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров на применение доказанной теоремы.
Пример 1 – вычислить:
Теорема удобна тем, что не нужно выполнять трудоемкое умножение, а иногда, наоборот, раскладывать большие числа на множители.
Пример 2 – вычислить:
Теорема 1 допускает обобщение, например, для произведения трех сомножителей.
Обобщение:
Дано: 
, 
Доказать: 
Доказательство:
Согласно условию 
, если рассматривать ab как один множитель, а с как второй, можем применить к выражению теорему 1:
Теперь можем применить теорему 1 к корню из ab:
Обобщение доказано.
Пример 3 – вычислить:
Пример 4 – вычислить:
3. Теорема о корне из частного, доказательство двумя способами, примеры
Если 
, то справедливо равенство:
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Введем новые переменные:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как все выражения неотрицательные и возводятся в натуральную степень, имеем право записать:
Теорема доказана.
Теорему 2 можно доказать непосредственно через теорему 1:
Дано:
Доказать (используя теорему 1):
Доказательство:
Если вышеуказанное равенство верно, то, возведя его правую часть в степень n, мы должны получить подкоренное выражение:
Рассмотрим заданное выражение:
Теорема доказана.
Пример 5 – вычислить:
Пример 6 – вычислить:
4. Еще одно доказательство теоремы о корне из произведения
Докажем теорему 1 вторым способом:
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Для доказательства будем использовать только определение корня.
Рассмотрим заданное выражение . Согласно определению корня, если правую часть выражения возвести в n-ю степень, мы должны получить подкоренное выражение, т. е. 
Теорема доказана.
Итак, мы рассмотрели и доказали важные теоремы о корне n-й степени из произведения и частного. На следующих уроках мы продолжим изучение свойств корня n-й степени.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 381–384;
2. Вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
