Основные определения
Корень -й степени есть число, которое можно найти. Если это число неотрицательное, то корень называется арифметическим.
Определение
Арифметическим корнем -й степени называется такое неотрицательное число, 
-я степень которого равна подкоренному выражению:
, 
, 
Основное тождество
, исходя из определения.
Примеры
1. 
2. 
3. 
В последнем примере корень не является арифметическим. Но его можно преобразовать:
, теперь выражение 
является арифметическим корнем, только перед ним стоит знак минус.
Возведение корня в степень
Теорема
Если 
; 
; 
, 
, то:
Доказательство
Согласно свойствам корня:
Тогда: 
Что и требовалось доказать.
Докажем на основании определения корня:
Итак, если справедливо:
То правая часть, возведенная в -ю степень, по определению должна дать подкоренное выражение, то есть:
Проверим справедливость данного равенства. Согласно свойствам степени, показатели можем поменять местами, получим:
Что и требовалось доказать.
Примеры
1. 
2. 
,
3. 
Извлечение корня из корня
Теорема
Если ; 
; ; 
, то:
Доказательство
Из основного тождества, если верно:
То если правую часть возвести в степень 
, должно получиться подкоренное выражение:
Что и требовалось доказать.
Примеры
1. 
С другой стороны 
.
2. 
3. 
,
4. 
,
5. 
,
Вывод
Итак, мы изучили свойства корня, а именно его возведение в степень и извлечение из него корня. Мы доказали теоремы и решили простейшие примеры.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2011 г.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013 г.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008 г.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)
2. Интернет-сайт oldskola1.narod.ru (Источник)
3. Интернет-сайт profmeter.com.ua (Источник)
Домашнее задание
1. Вычислить:
; 
; 
; 
2. Вычислить:
; 
; 
; 
; 
3. Вычислить:
; 
; 
; 
