Пример 2 – решить графическим методом неравенство с параметром:

Согласно методике сначала нужно построить график заданного неравенства в осях х, а. в предыдущем примере мы строили график уравнения, стоящего в левой части. Для построения графика данного неравенства необходимо лишь заштриховать все значения внутри квадрата, так как это и есть решение неравенства.

Рис. 3. График неравенства

Далее необходимо рассечь график семейством прямых и найти точки пересечения. Рассечение выполнено на рисунке 21.3, точки пересечения найдены в примере 1 при решении уравнения:

, , , .

Глядя на график, можем выписать ответ: при неравенство не имеет решений; при неравенство имеет единственное решение - ; при неравенство имеет множество решений - ; при неравенство имеет множество решений ; при неравенство имеет множество решений - .

Пример 3 – решить графически неравенство с параметром:

Данное неравенство мы уже решали ранее, применяя метод областей. Согласно данному методу:

Рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль, это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.

Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D₁. Между отрезком ломаной и прямой – область D₂, ниже прямой – область D₃, между отрезком ломаной и прямой – область D₄

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку, таким образом получили, что в областях и функция положительна, в областях и – отрицательна. Имеем решение неравенства:

Рис. 5. Решение неравенства к примеру 3

Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых и найти точки пересечения.

Рис. 6. Рассечение графика семейством прямых

Теперь глядя на график можем выписать ответ: при имеем бесчисленное множество решений ; при решений нет; при имеем множество решений .

Итак, мы рассмотрели графический метод для решения задач с параметром, далее с помощью данного метода будем решать белее сложные задачи.

Список рекомендованной литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

Tutoronline.ru (Источник).
Параметры (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Решить уравнение с параметром:

Найти значения параметра, при которых неравенство имеет бесчисленное множество решений:

Найти значения параметра, при которых неравенство не имеет решений: