Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Линейная функция в задачах с параметром
1. Суть решения задач с параметром
Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.
Решить задачу, например, уравнение 
или неравенство 
с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.
2. Решение линейного уравнения с параметром
Поясним на конкретных примерах.
Пример 1 – решить линейное уравнение с параметром:
Если бы мы знали конкретное значение параметра, мы могли бы легко решить уравнение, разделив свободный член на коэффициент при х. Поэтому, чтобы решить заданное уравнение с параметром, необходимо сначала собрать все члены с х в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой:
Вынесем в левой части общий множитель за скобки:
Разложим на множители по формуле разности квадратов:
теперь можно было бы разделить правую часть на коэффициент при х, деление можно выполнить, когда коэффициент не равен нулю, но он зависит от параметра а. В данном случае коэффициент равен нулю при 
. То есть нужно рассмотреть три случая, таким образом перебрать все значения параметра:
Ответ: при 
; при 
; при 
Решенный пример подтверждает известную специфику линейного уравнения или системы линейных уравнений. Она заключается в том, что такое уравнение или система может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.
3. Решение линейного неравенства с параметром
Рассмотрим линейные неравенства с параметром.
Пример 2 – решить линейное неравенство с параметром:
Аналогично решению уравнения, переносим члены с х в одну сторону и преобразовываем:
Теперь мы можем делить на коэффициент перед х, рассмотрим три случая – коэффициент положителен, равен нулю и отрицателен:
Ответ: при 
;
при 
;
при 
4. Решение системы линейных уравнений с параметром
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметром.
Пример 3 – решить систему уравнений с параметром:
Выразим во втором уравнении х и подставим в первое уравнение:
Получили одно линейное уравнение с одной неизвестной, упрощаем его:
Таким образом, в результате преобразований получена система:
Теперь необходимо решить первое уравнение системы. При этом нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент перед у равен нулю и не равен нулю:
Ответ: при 
; при 
система не имеет решений; при 
Рассмотрим подробнее случай, когда заданная система не имеет решений, то есть когда , подставим значение а в уравнения системы:
Поделим первое уравнение на два:
Получено явное противоречие, очевидно, что система не имеет решений.
Выразим в обоих уравнениях у:
Проиллюстрируем:
Рис. 1. Графики функций 
и 
Прямые параллельны, и система не имеет решений.
Итак, мы рассмотрели решение различных задач с параметром и линейной функцией, далее перейдем к задачам с параметром и квадратичной функцией.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Tutoronline.ru (Источник).
2. Параметры (Источник).
Домашнее задание
1. Решить уравнение с параметром:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
2. Решить неравенство с параметром:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
3. Решить систему уравнений с параметром:
а) 
б) 
