Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Неравенства с модулями
1. Определения модуля
Существует несколько определений модуля. Эти определения должны быть равноценны, эквивалентны, т. е. из первого определения следует второе, а из второго первое.
Определение:
Модулем числа t называется само число t, если оно больше нуля, модулем нуля является ноль, и если под модулем отрицательное число, то модуль t равен минус t.
Обычно в задачах под модулем стоит целое выражение, зависящее от х, тогда:
Из вешесказанного следует простое правило: если под модулем стоит положительное число, то модуль можно отбросить. Если же под модулем стоит отрицательное число, то модуль следует отбросить, но поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.
Определение:
Модуль числа t – это расстояние от точки t до точки 0.
В частности, 
Например:
Рис. 1. Модули чисел 3 и -3
2. Решение простейших примеров
Из определения модуля следует основной прием решения задач с модулем, а именно, освободиться от модуля на основе его определения. Поясним на конкретном примере.
Пример 1 – построить график функции:
Согласно определению модуля, рассматриваем два случая:
Рис. 2. График функции
Пример 2 – решить неравенства:
a) 
Решим, опираясь на второе определение:
Проиллюстрируем:
Рис. 3. Решение примера 2.a
Любая точка, не принадлежащая выбранному отрезку, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет больше заданного расстояния.
Ответ: 
б) 
Проиллюстрируем:
Рис. 4. Решение примера 2.б
Любая точка, не принадлежащая выбранным промежуткам, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет меньше заданного расстояния.
Ответ: 
Рассмотрим неравенства вида:
Данное неравенство можно решать двумя способами.
Способ 1 (по определению):
Способ 2:
Строгое доказательство данного способа опустим, приведем и прокомментируем его.
Поясним на графике (рисунок 5)
Рис. 5. Пояснительный график
Итак, на рисунке 12.5 изображен график функции 
. Решения неравенства заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворит промежуток значений (-g; g) – показано красным.
3. Схемы решения более сложных неравенств с уединенным модулем
Рассмотрим следующий тип неравенств с уединенным модулем:
Аналогично предыдущему неравенству, покажем два способа решения.
Способ 1:
Способ 2:
Доказательство данного способа можно получить, продолжив преобразовывать совокупность, полученную в первом способе. Мы проиллюстрируем данный способ решения:
Рис. 6. Пояснительный график
Итак, на рисунке 6 изображен график функции . Решения неравенства заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворят промежутки значений 
– показано красным.
4. Решение примеров
Пример 3 – решить неравенство:
Решаем неравенство вторым способом:
Проиллюстрируем решение системы:
Рис. 7 Решение системы в примере 3
Ответ: 
Пример 4 – решить неравенство:
Решаем вторым способом:
Проиллюстрируем решение совокупности:
Рис. 8. Решение совокупности в примере 4
Ответ: 
5. Решение неравенств с модулем методом интервалов
Неравенства с модулем можно решать методом интервалов.
Пример 5 – решить неравенства:
а) 
б)
Согласно стандартному алгоритму, рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль:
Исследуем функцию. ОДЗ: 
Чтобы найти корни, решим уравнение:
Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции:
Рис. 9. Интервалы знакопостоянства функции
Ответ: а)
; б) ;
6. Решение неравенства с двумя модулями
Рассмотрим неравенство, в котором сравниваются два модуля.
Пример 6 – решить неравенство:
Напомним, что если обе части неравенства положительны, мы имеем право возвести их в квадрат, при этом равносильность не теряется. В данном случае каждый модуль неотрицателен, имеем право возвести в квадрат, при этом модули уничтожатся, согласно свойству (
):
Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:
Вынесем из скобок константные множители:
Разделим обе части неравенства на минус три, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
Получено простейшее квадратное неравенство. Парабола, ветви направлены вверх, интересующие нас значения находятся в интервале между корнями.
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели различные типовые неравенства с модулем, привели некоторые схемы решения и решили примеры. Далее перейдем к системам уравнений.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Портал естественных наук (Источник).
2. ЕГЭ по математике (Источник).
3. Математика, которая мне нравится (Источник).
Домашнее задание
1. Решить неравенство:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
2. Решить неравенство:
а) 
;
б)
;
в)
;
г) 
;
3. Решить неравенство:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
