Равносильность уравнений

1. Определение равносильности

Определение 1.

Два уравнения с одной переменной

    

называются равносильными, если множество их корней совпадает.

Например, если в первом единственный корень , во втором тоже единственный корень , то эти уравнения равносильны.

Это очень важное понятие. В процессе решения мы пытаемся заменить более сложные уравнения более простыми, но равносильными (эквивалентными).

2. Примеры

Пример:

1.     

Ответ:

2) 

Ответ:

Уравнения 1 и 2 называются равносильными.

Рассмотрим важный частный случай. Если первое уравнение не имеет корней и второе уравнение не имеет корней, то данные уравнения мы считаем равносильными. Множество их решений совпадает – это пустое множество.

3. Определение следствия

Определение 2:

Если каждый корень уравнения

Является и корнем уравнения , то уравнение 2 называют следствием из уравнения 1. Обозначают это следующим образом:

Предположим, что первое уравнение имеет корни , второе уравнение имеет корни . Тогда из первого уравнения следует второе.

В чем важность этого определения?

При решении уравнения исходное уравнение заменяется более простым, важно не потерять множество корней исходного уравнения, а ненужные корни можно потом отбросить проверкой.

4. Утверждение

Утверждение:

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

                   

При практическом решении уравнений важно следить за их эквивалентностью (равносильностью).

Равносильность гарантируют некоторые теоремы.

5. Теорема 1

Теорема 1:

Равносильность сохранится, если любой член уравнения перенести в другую часть с противоположным знаком.

6. Теорема 2

Теорема 2:

Имеем уравнение. Можно возвести обе части в нечетную степень, при этом гарантируется сохранение равносильности уравнений.

7. Теорема 3

Теорема 3:

8. Теорема 4

Теорема 4:

Где

При решении уравнений часто приходится возводить в четную степень. Сохранится ли при этом эквивалентность?

9. Теорема 5

Теорема 5:

Если  при  из ОДЗ, то

10. Теорема 6

Теорема 6:

 

Мы рассмотрели теорию равносильности уравнений. Эта теория будет использована и на следующем уроке.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Fmclass.ru (Источник).
2. Uztest.ru (Источник).
3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решите уравнение .
2. Решите уравнение .
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1666–1669.