Равносильность уравнений, примеры

1. Напоминание

Напоминание:

 (2)

Уравнения (1) и (2) – равносильны, то есть множество их корней совпадает.

 (2)

                 

Уравнение (2) является следствием уравнения (1). При проверке можно лишние корни отсечь.

Лишние корни возникают при расширении ОДЗ. Ситуация будет хуже, если произойдет сужение ОДЗ. Такие случаи мы и рассмотрим.

2. Сужение ОДЗ, Пример 1

Найдем ОДЗ для левой части:

 (Рис. 1)

Рис. 1. ОДЗ для левой части

Рис. 2. ОДЗ для правой части 

ОДЗ для правой части:

 (Рис. 2)

Все корни из 3-й четверти потеряны. Следовательно, даже при применении известных формул, можно сузить ОДЗ.

3. Пример 2

Для того чтобы это не происходило, эту формулу нужно применять в следующем виде:

ОДЗ для левой части:

 (Рис. 1)

ОДЗ для правой части:

 (Рис. 3)

Рис. 3. ОДЗ для правой части 

То есть ОДЗ расширилась. При расширении ОДЗ могут возникнуть лишние корни, которые можно устранить проверкой.

Рассмотрим следующий пример.

Найдем ОДЗ для правой части:

 (Рис. 4)

Рис. 4. ОДЗ для правой части 

ОДЗ для левой части:

 (Рис. 5)

Рис. 5. ОДЗ для левой части 

То есть ОДЗ сузилась, все корни, удовлетворяющие условию , могут быть потеряны.

Преобразуем данную формулу следующим образом:

Тогда ОДЗ левой и правой части будут совпадать: .

4. Конкретное уравнение

Рассмотрим конкретное уравнение:

ОДЗ:  (Рис. 4)

Неверное решение:

ОДЗ:

Ответ: .

Мы потеряли корень  из-за сужения ОДЗ.

Ответ: .

Продолжим изучение случаев, когда происходит сужение ОДЗ и, следовательно, потеря корней.

5. Пример 3

Найдем ОДЗ левой части:

 (Рис. 6)

Рис. 6. ОДЗ левой части

 ОДЗ правой части:

 (Рис. 7)

Рис. 7. ОДЗ правой части

Чтобы не допустить потери корней, преобразуем формулу следующим образом:

ОДЗ правой части осталось неизменным (Рис. 6).

6. Пример 4

Найдем ОДЗ левой части:

 (Рис. 8)

Рис. 8. ОДЗ левой части

Произошло расширение ОДЗ, то есть возможное приобретение дополнительных корней.

Еще один случай сужения ОДЗ – это деление на  или на выражение, которое его содержит. Рассмотрим конкретный пример.

Неверное решение:

Пусть .

Ответ: .

Верное решение:

Ответ: .

Мы рассмотрели основные случаи сужения ОДЗ. На следующем уроке перейдем к рассмотрению общих методов решений уравнений. 

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение. 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Fmclass.ru (Источник).
2. Uztest.ru (Источник).
3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение
2. Решить уравнение:
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1674–1676.