01. Равносильность уравнений
13 мин
02. Равносильность уравнений (продолжение)
10 мин
03. Равносильность уравнений, примеры
13 мин
04. Общие методы решения уравнений
12 мин
05. Метод разложения на множители
10 мин
06. Метод введения новой переменной
17 мин
07. Функционально-графический метод
12 мин
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
13 мин
09. Метод интервалов
18 мин
10. Системы и совокупности неравенств
16 мин
11. Иррациональные неравенства
24 мин
12. Неравенства с модулями
21 мин
13. Уравнения и неравенства с двумя переменными
14 мин
14. Системы уравнений. Основные сведения и примеры
16 мин
15. Системы уравнений. Метод подстановки
16 мин
16. Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
20 мин
17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных
14 мин
18. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
15 мин
19. Линейная функция в задачах с параметром
16 мин
20. Квадратичная функция в задачах с параметром
18 мин
21. Графический метод в задачах с параметром
22 мин
22. Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач
23 мин
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
Видео доступно по абонементу
На данном уроке мы приступим к теме «Решение неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств». На занятии мы обсудим важное понятие равносильности неравенств. Рассмотрим процесс решения таких неравенств с одной переменной путём замены более сложного неравенства более простым, но равносильным.
Рассмотрим решение в общем виде: (1).
называется частным решением, если .
Множество всех частных решений есть общее решение (или просто решение) неравенства. Решить неравенство – значит найти его общее решение.
Рассмотрим отличия неравенств от уравнений:
Имеет бесконечное множество решений (как правило).
Невозможна проверка подстановкой в исходное неравенство.
Поэтому неравенства можно решать только равносильными преобразованиями:
(2)
Решение неравенства заключается в замене исходного неравенства более простым, но равносильным неравенством.
Определение 1.
Неравенства (1) и (2) называются равносильными, если их решения совпадают.
.
1.
2.
Множества решений совпадают. Значит:
Определение 2. Если решение неравенства (1) содержится в решении неравенства (2), то неравенство (2) есть следствие неравенства (1).
.
Рассмотрим некоторые из равносильных преобразований:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Рассмотрим примеры, в которых можно допустить типовые ошибки:
1.
Решение:
Ответ: ( – частные решения)
Проблема в умножении на
Он мог быть и отрицательным, и положительным. Надо менять знак.
Правило: в неравенствах нельзя умножать на если его знак не известен.
2.
Решение:
Ответ: (верно).
Правильное решение:
3.
Ответ: или .
Мы рассмотрели важное понятие равносильности неравенств. На следующем уроке рассмотрим метод интервалов.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Проверь себя
Решить неравенства:
а)
б)Решить неравенства:
a) ;
б) .Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1745, 1746, 1747.
Полезные ссылки
"