Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
1. Основные сведения о системах уравнений и их решении
Рассмотрим системы двух уравнений с двумя неизвестными (1) и трех уравнений с тремя неизвестными (2).
Здесь р и q – некоторые выражения, зависящие от пары переменных х и у.
Здесь р, q и r – некоторые выражения, зависящие от тройки переменных х, у и z.
Частным решением системы 1 называется пара чисел (
) такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.
Частным решением системы 2 называется тройка чисел (
) такая, при подстановке которой в уравнения системы получим верные равенства.
Решить систему уравнений означает найти множество всех ее решений.
Чтобы найти множество всех решений системы, лучше всего пользоваться эквивалентными или равносильными преобразованиями, то есть такими, которые не искажают множество решений. В результате таких преобразований мы получаем равносильные системы, то есть имеющие одно и то же множество решений
Таким образом, процесс решения системы сводится к постепенному переходу от заданной сложной системы к все более простой и так до тех пор, пока не получим ответ.
При использовании эквивалентных преобразований проверка решений не является обязательной.
Методы решения систем с помощью эквивалентных преобразований:
-метод подстановки;
-метод алгебраического сложения;
-метод введения новых переменных;
2. Решение линейных систем двух и трех уравнений
Цель данного урока – метод алгебраического сложения, напомним его на простейшем примере. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Несложно заметить, что если первое уравнение умножить на минус три и сложить со вторым, то мы избавимся от у. преобразуем:
Теперь можно подставить значение х в любое уравнение и найти у, подставим во второе:
Ответ: (-1;1)
Мы получили единственное решение и это можно предвидеть. Оба уравнения системы линейны, геометрический образ каждого из них – прямая. коэффициенты перед х не пропорциональны, коэффициенты перед у непропорциональны, значит прямые пересекаются и мы имеем единственное решение системы.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Первое уравнение оставим без изменений, в нем удобен коэффициент перед х, равный единице, это так называемый направляющий элемент.
Чтобы избавиться от х во втором уравнении умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым.
Чтобы избавиться от х в третьем уравнении умножим первое уравнение на минус единицу и сложим с третьим.
Преобразуем:
Так как мы легко нашли z, подставим его значение в первое и третье уравнения:
Подставим полученное значение у в первое уравнение и найдем х:
Ответ: (
)
Мы получили единственное решение и это можно было предвидеть. Геометрическим образом каждого уравнения данной системы является плоскость. Все три плоскости могут пересечься в одной точке. Линия пересечения двух плоскостей пересекается с третьей плоскостью и в результате получается единственная точка пересечения – единственное решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Напомним, что системы линейных уравнений могут либо иметь единственное решение, либо бесчисленное множество решений, либо не иметь решений вовсе.
В данном случае система не имела бы решений, если бы плоскости были параллельны. Такова геометрическая интерпретация данной системы.
3. Решение нелинейных систем двух уравнений
Пример 1 – решить систему методом алгебраического сложения:
За направляющий элемент примем коэффициент единицу перед х в первом уравнении.
Оставим х в первом уравнении и исключим его из остальных уравнений.
Чтобы избавиться от х во втором уравнении умножим первое уравнение на два и сложим со вторым.
Чтобы избавиться от х в третьем уравнении сложим первое уравнение с третьим.
Преобразуем:
После преобразования получили систему:
Теперь избавимся от у. за направляющий элемент выберем у с коэффициентом единица во втором уравнении.
Чтобы избавиться от у в первом уравнении умножим второе уравнение на минус единицу и сложим с первым.
Чтобы избавиться от у в третьем уравнении умножим второе уравнение на минус три и сложим с третьим.
Преобразуем:
Получили систему:
Теперь можем легко найти z:
Подставим z в первое и второе уравнение:
Ответ: (1;-1;1)
Рассмотрим нелинейную систему.
Пример 2 – решить систему методом алгебраического сложения:
Несложно заметить, что можно исключить у. для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом и находим его корни:
Находим у, подставив найденное значение в любое уравнение, например в первое:
Ответ: (1;1), (1;-1)
Рассмотрим систему с иррациональными выражениями.
Пример 3 – решить систему методом алгебраического сложения:
Несложно заметить, что можно исключить у. для этого умножим второе уравнение на минус три и сложим с первым:
Получили уравнение с одной неизвестной. Решаем его и находим х:
Находим соответствующее значение у:
Поскольку в уравнениях присутствуют квадратные корни, проверяем ОДЗ и только после этого выписываем ответ.
Ответ: (4;1)
Пример 4 – решить систему методом алгебраического сложения:
Очевидно, что здесь нужно избавиться от у, для этого сложим уравнения:
Получили уравнение с одной неизвестной. Решаем его и находим х:
Находим соответствующее значение у:
Ответ: (1;1)
Итак, мы рассмотрели метод алгебраического сложения при решении различных систем уравнений, далее рассмотрим метод введения новых переменных.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Школьный помощник (Источник).
2. Xvatit.com (Источник).
3. Xvatit.com (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №186-188 ст.288;
2. Решить систему методом алгебраического сложения:
3. Решить систему методом алгебраического сложения:
