Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры

1. Суть решения задач с параметром, простейшие примеры

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например уравнение  или неравенство  с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

2. Решение уравнений с параметром 

Поясним на простейших примерах.

Пример 1 – решить уравнение с параметром:

Задача состоит в том, чтобы для каждого значения параметра  решить уравнение относительно .

Пусть , тогда имеем простейшее линейное уравнение:

В общем случае в данном уравнении возможны два варианта решения – когда можно делить на коэффициент а и когда нельзя, необходимо перебрать все допустимые значения параметра а ()

Рассмотрим два случая. При  мы не имеем права разделить единицу на коэффициент а, поэтому подставляем значение ноль в заданное уравнение и изучаем его. При любых других значениях а имеем право выполнить деление:

Ответ: при  решений нет, при

Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.

3. Решение неравенства с параметром  

Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.

Пример 2 – решить неравенство с параметром:

Если а – конкретное число, мы можем легко решить заданное неравенство, например:

у нас же есть коэффициент а в общем виде. Рассмотрим три случая:

Ответ: при  решений нет; при  ; при  

Пример 3 – решить уравнение с параметром:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

Значение параметра может быть любым. Рассмотрим два случая:

При этом получаем в первом случае: х с одной стороны равен пяти, т. к. , а с другой стороны не равен пяти, т. к. знаменатель дроби не может быть равен нулю, кроме того получаем выражение , а такого выражения не существует.

Когда , противоречий не возникает

Ответ: при  решений нет, при

Пример 4 – решить уравнение с параметром:

Значение а может быть любым, но квадратный корень – это строго неотрицательное число. Следовательно, рассматриваем два случая:

Ответ: при  ; при   

4. Решение иррационального уравнения с параметром

Решим иррациональное неравенство с параметром.

Пример 5 – решить неравенство с параметром:

Исследуем данное неравенство.

х стоит под знаком квадратного корня, значит допустимые значения по х  - все неотрицательные значения. а может принимать любые значения. рассмотрим три случая. Если  меньше нуля и корень существует, то неравенство выполняется. Если , любой неотрицательный х удовлетворяет неравенству. Если же  больше нуля, имеем право возвести в квадрат:

Ответ: при  ; при  

Рассмотрим решение данного неравенства графическим методом. Для этого сначала строим график функции, стоящей в левой части: , область определения данной функции . Рассекаем полученную кривую семейством прямых  и находим точки пересечения.

По рисунку очевидно, что когда  , кривая находится над прямой при всех допустимых х, то есть при всех допустимых х неравенство выполняется.

Если а положительно, кривая имеет единственную точку пересечения с прямой и кривая находится выше прямой правее точки пересечения, абсцисса точки пересечения , поэтому решением неравенства является

Очевидно, что ответ совпадает с ответом при решении аналитическим способом.

 

Пример 6 – решить уравнение с параметром:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует.

Рассматриваем два варианта – либо , но корень при этом должен существовать, либо , в таком случае а – любое число:

Ответ: при  ; при

Итак, мы рассмотрели решение различных простых задач, в которых присутствует параметр. Далее рассмотрим задачи, в которых присутствуют линейные функции и параметр.

  

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Параметры (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 132, 137, 138 ст. 282-283;

2. Решить уравнение с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;