Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
1. Напоминание ранее изученных методов разложения многочлена на множители
Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:
-Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:
;
Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.
Итак, вынесем общий множитель за скобки:
;
Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.
-Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:
;
Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:
;
Вынесем общие множители в группах:
;
У выражения появился общий множитель. Вынесем его:
;
- Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:
;
Распишем выражение подробно:
;
Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:
;
2. Описание метода выделения полного квадрата
Сегодня мы выучим еще один способ – метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:
– формула квадрата суммы(разности);
3. Решение примера
Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:
;
Распишем выражение:
;
Итак, первое выражение это 
, а второе 
.
Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:
;
Свернем полный квадрат суммы:
;
Преобразуем полученное выражение:
;
Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:
;
Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.
Перейдем к решению примеров.
Пример 1 – разложить на множители:
;
Найдем выражения, которые стоят в квадрате:
;
Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:
;
Прибавим и отнимем удвоенное произведение:
;
Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::
;
Распишем по формуле разности квадратов:
;
4. Решение уравнений
Пример 2 – решить уравнение:
;
В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности 
:
;
У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:
;
Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:
;
Применим формулу разности квадратов:
;
Итак, имеем уравнение 
Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:
или 
Решим первое уравнение:
, 
;
Решим второе уравнение:
, 
;
Ответ: или
Пример 3:
;
Поступаем аналогично предыдущему примеру – выделяем квадрат разности:
;
Применяем формулу разности квадратов:
;
Получили уравнение 
Значит 
или , 
или ;
5. Выводы по уроку
Вывод: мы рассмотрели новый метод разложения многочлена на множители – метод выделения полного квадрата, он базируется на знании и формул сокращенного умножения. Мы выполнили несколько различных примеров на закрепление техники применения данного метода.
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Школьный помощник (Источник).
2. ЕГЭ по математике (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 382, ст.135;
Задание 2 – выделить полный квадрат: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Задание 3 – решить уравнение: а) 
; б) 
; в) 
