Введение
Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.
Решим уравнение 
. Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть 
является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:
В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.
В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?
Найдём значение выражения: 
.
В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.
Решим еще один пример. Докажем делимость на 
выражения 
.
Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.
Решим еще один пример. Докажем, что выражение 
делится на 
при любом натуральном 
: 
.
– выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .
Вынесение за скобки общего множителя, являющегося целым числом
Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?
Вспомним, что многочлен – сумма одночленов.
Рассмотрим многочлен 
. Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен – произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.
Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: 
.
Рассмотрим ещё один пример: 
.
Найдем 
, что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: 
.
Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.
Вынесение за скобки общего множителя, являющегося буквенной переменной
Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: 
.
В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:
Усложним пример, увеличив количество одночленов:
После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.
Решение сложных примеров
Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:
Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.
Общим множителем также может быть искомое значение :
Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении:
Обозначим выражение 
за 
и вынесем его как общий множитель:
Вернемся к исходной переменной: 
. Получаем: 
.
Заключение
Мы научились находить общий множитель и выносить его за скобки. Сформулировали соответствующие правила и закрепили их примерами.
Список рекомендованной литературы
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1) Вынесите общий множитель за скобки:
2) Решите уравнение: 
.
3) Упростите выражения:
