Подставить в алгебраическое выражение можно любое число, но не всегда получится посчитать его значение.

Определение: такие значения переменной, при которых выражение не определено (нельзя вычислить его значение), называют недопустимыми значениями.

На данный момент мы знакомы только с одним таким случаем. Например, если в выражении есть дробь или деление , то мы не будем подставлять в выражение такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в 0: .

Есть и другие случаи появления недопустимых значений переменных, но о них мы узнаем позже, по мере изучения различных функций.

Рассмотрим примеры на определение недопустимых значений переменных в выражениях.

Пример 1. Определить недопустимые значения переменной в выражении .

Решение. Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: .

Таким образом, недопустимым значением переменной является 0, т.е. выражение определено для любых .

Ответ: 0.

Пример 2. Определить недопустимые значения переменной в выражении .

Решение. Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: .

Таким образом, недопустимым значением переменной является 5, т.е. выражение определено для любых .

Ответ: 5.

Где еще можно встретить деление на ноль?

Докажем, что . Введем переменные , пусть .

Запишем:

Получим равенство:

Перегруппируем слагаемые и получим:

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из частей равенства:

Разделим обе части равенства на и получим:

Получили, что . В чём подвох? Дело в том, что в наше «доказательство» вкралась ошибка: было выполнено деление на 0 при делении обеих частей равенства на выражение (по предположению эти числа равны: ).

Это пример математического софизма – утверждения с доказательством, в котором кроются ошибки. Софизмы бывают не только математическими, например, фраза «Ты не терял то, что у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит, у тебя есть рога и хвост» содержит логическую ошибку: из первой фразы не следует, что у тебя есть всё, что ты не терял.

Наиболее известными софизмами являются апории Зенона. Подробнее узнать о них вы можете по этой ссылке.